Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

влиянием атмосферы и работой тормозного двигателя; g — гра­ витационное ускорение; 0-— случайное возмущение типа белого шума с известными характеристиками.

Предположим, что имеется априорная информация о началь­

рости 1>0, угла 0о и высоты Я 0; а„0, аЯо, а6о — средние квадрати­ ческие отклонения соответствующих начальных условий движе­ ния.

При спуске объекта с помощью радиовысотомера измеряется

где он — средняя квадратическая ошибка измерений высоты. ■Требуется по результатам измерений высоты, полученным на

интервале времени [0, Г], определить параметры движения объ­ екта v(t), 0 (f), H(t).

Рассмотренная задача относится к задачам определения плос­ кого движения космического объекта. Наличие случайных возму­ щений в исходной нелинейной дифференциальной модели (1.3.7) накладывает ограничения на выбор статистического метода и вычислительной процедуры. Это приводит к необходимости по­ строения специальных фильтров типа фильтра Калмана.

Задача 3. Рассмотрим движение космического объекта как твердого тела относительно Земли — эллипсоида под действием силы притяжения Земли G и аэродинамической силы R. Для за-

10

писи математической модели движения выберем основную эква­ ториальную систему координат Оххх2х3, ось Ох3 которой направ­ лена по оси вращения Земли, а ось Oxi — в точку весеннего рав­ ноденствия. В принятой системе координат математическая модель движения имеет вид

dvI

т ■dtL = ° , + K f i

(1.3.11)

d x .

- £ - = *} (У = 1,2,3), dt

dv. dx .

где —— , — - (/==1, 2, 3,) —проекции векторов абсолютного dt dt

ускорения и абсолютной скорости соответственно на оси основ­ ной экваториальной системы коорди­

р—arct~

Координаты объекта х / (/=1, 2, 3) в измерительной системе могут бйть выражены через координаты X j ( j = l , 2, 3) в основной экваториальной системе с помощью формул неоднородного орто­ гонального преобразования координат

И

где

лг^оэ (_/= 1, 2, 3) —координаты качала основной экваториальной системы в измерительной системе; Aj,о э —матрица перехода от основной экваториальной системы координат к измерительной системе.

Формулы (1.3.12) в сочетании с преобразованием (1.3.13) дают измеряемые функции, поскольку существует связь между измеряемыми параметрами и текущими координатами объекта в системе, принятой для описания движения. Измерения сопро­ вождаются аддитивными ошибками, так что в результате изме­ рений получим

где ошибки измерений имеют следующие характеристики:

Требуется по результатам измерений наклонной дальности, азимута и угла места, полученным в процессе слежения за дви­ жением объекта на интервале времени 40, Т], определить пара­ метры движения Х\ (t) , х2(0, х3 (t) , щ (t), v2(t), i>3 (t). Если силы G и /?, действующие на объект, известны, то задача сводится к отысканию по данным летного эксперимента начальных условий

*2(*о). ХЛ ^ \ *l(*o)> V2 ^o), ®з(*0).

отнесенных к началу интервала измерений, и последующему ин­ тегрированию дифференциальных уравнений движения (1.3.11).

Рассмотренная задача относится к задачам определения про­ странственного движения центра масс объекта. При выборе ме­ тода решения необходимо учесть, что математическая модель движения (1.3.11) представлена нелинейными дифференциаль­ ными уравнениями.

Задача 4. Усложним условия движения космического объекта по сравнению с условиями предыдущего примера. Будем считать, что на космический объект, помимо силы притяжения Земли и аэродинамической силы, действуют возмущения, обусловленные неравномерностью распределения масс внутри Земли. Аномалии силы земного притяжения зададим в виде случайных возмуще­ ний с известными характеристиками, входящими в правые части уравнений движения аддитивно. Тогда модель движения (1.3.11) преобразуется к виду

12

(1.3.16)

dx:

J ^ v , ( j = 1,2,3),

где '&](/= l, 2, 3) — проекции случайных возмущений на оси ос­ новной экваториальной системы координат.

Схема и ошибки измерений соответствуют условиям задачи 3. Требуется по результатам измерений определить параметры движения Х\ (t), x2(t), x3(t), vx (t), v2(t), v3 (t). Поставленная за­ дача относится к задачам определения пространственного движе­ ния центра масс объекта. Наличие случайных возмущений в ис­ ходной нелинейной дифференциальной модели приводит (как и в задаче 2) к необходимости построения фильтров типа Калмана. Задача 5. Космический объект движется по эллиптической орбите в нормальном гравитационном поле Земли. Потенциал поля представляется разложением в ряд по сферическим функ­

циям геоцентрической широты <р с точностью до двух членов:

гравитационное поле Земли.

В процессе длительного слежения за движением объекта к началу каждого витка на момент прохождения плоскости эквато­ ра определялись оскулирующие элементы орбиты:

долгота (прямое восхождение) восходящего узла й; наклонение орбиты г; аргумент перицентра оь; фокальный параметр р; эксцентриситет е;

время прохождения через перицентр ту.

Анализ полученных результатов показал, что за один виток вековые изменения элементов 6р = 6е=61 = 6т* = 0, а вековые из­ менения 6Й и бы* отличны от нуля, обусловлены влиянием вто­ рого члена разложения (1.3.17) потенциала и имеют вид

(1.3.18)

Яш* —— -----— (5 cos2 i — 1).

Р2 по

13

станты ро и е. Рассмотренная задача относится к задачам анали­ за движения и сводится к уточнению двух постоянных парамет­ ров.

Задача 6. Рассмотрим модель инструментальных ошибок ньютонометра интегрирующего типа, установленного на гиростабилизированной плотфоре в «v-направлении»:

коэффициента усиления ньютонометра; Av — постоянная угловая ошибка ориентации-оси чувствительности ньютонометра; « —-уг­ ловая скорость ухода гиростабилизированной платформы, вызы­ вающая переменную во времени ошибку ориентации оси чувст­ вительности ньютонометра.

Функции (1.3.21) рассчитываются по кажущимся параметрам требуемого движения и известны точно. Рассогласование AU?V между действительным и измеренным значениями кажущейся скорости в «v-направлении», возникающее вследствие инстру­ ментальных ошибок упомянутых элементов инерциальной систе­ мы управления, может быть найдено по формуле

где Wn — кажущаяся скорость, измеряемая с помощью ньюто­ нометра интегрирующего тип^; TF,— кажущаяся скорость кос­ мического объекта в «v-направлении», измеряемая с помощью радиотехнических измерительных средств.

14