Файл: Брандин, В. Н. Основы экспериментальной космической баллистики.pdf

r = V x l + x lj - x l, •и = К'и? + 'У2 + 'Уз;

}j (/=1, 2, 3) — составляющие вектора ускорения

2.1.3. Модель движения в гринвичской экваториальной системе координат

Гринвичской экваториальной системой координат назовем правую прямоугольную систему координат Ох\*х2*х3*, начало ко­ торой помещено в центр Земли, ось Ох3* совпадает с осью враще­ ния Земли, ось Ох\* направлена в точку пересечения меридиана Гринвича с плоскостью экватора. Эта система координат враща­ ется с той же угловой скоростью 0 3, что и Земля. При записи модели движения центра масс объекта в гринвичской экватори­ альной системе координат в уравнениях (2.1.5) и (2.1.4) следует принять:

r 0= 0, w — 0, w = Q3=cons1, е= 0.

С учетом сказанного и принятых в п. 2.1.2 допущений о дей­ ствующих на объект силах модель (2.1.6) примет вид

где

gr** = gr* —Ц3 X (2 3 X г*).

Соответствующую модели (2.1.9) скалярную модель можно записать в виде

„•=Г(„;>ЧМ)ЧЩ)’. (Д)Ч(Д)Ч(^)!,

21

f f (/=1, 2, 3) — проекции ускорения

на оси той же системы.

2.1.4. Модель кеплерова движения

Модель кеплерова движения следует из модели (2.1.7) при допущении, что на космический объект действует лишь одна ос­ новная сила притяжения Земли. Тогда

г 3

Результат проектирования левых и правых частей векторных уравнений модели (2.1.11) на оси основной экваториальной сис­ темы Oxj (/ = 1, 2, 3) представляется системой скалярных урав­ нений

Хл

Н ) — г

Г 3

.. х 2

f t) ~ ~ г

г 3

( 2. 1. 12)

*1 Vi

х2 —

х3

г — \ ^ х \ - J - j cI ; " v = Y

Модель кеплерова движения может быть представлена в ко­ нечном виде. Непосредственное итегрирование уравнений (2.1.12) затруднительно. Интегралы исходных векторных уравне­ ний (2.1.11) проще получить, применяя теоремы о кинетическом моменте и кинетической энергии. Применение теоремы о кинети­ ческом моменте дает векторный интеграл уравнений движения вида

22

положение которой в пространстве не меняется. Абсолютная ве­ личина вектора с определяется по формуле

Объединение интегралов (2.1.13) и (2.1.15) приводит к из­ вестному уравнению траектории космического объекта в плос­ кости, определяемой вектором с,

где обозначения уже оговорены при записи формулы (1.3.2). Для полного описания кеплерова движения в пространстве элементы р и е дополняют другими элементами. К ним можно отнести, на­ пример, долготу восходящего узла П, наклонение орбиты i, ар­ гумент перицентра со*, время прохождения через перицентр т*, Система кеплеровых элементов орбиты, включающая П, i, со*, р. е и тя, не является единственно возможной. Существует большое число других полных систем элементов. Часто вместо фокального параметра р используют большую полуось

вместо большой полуоси в систему включают оскулирующий пе­ риод обращения

3

Wo

а вместо времени т* прохождения через перигей часто использу­ ют значение средней аномалии в заданный момент времени

где to — некоторый заданный момент времени;

23

Ео — соответствующее этому времени значение эксцентриче­ ской аномалии, связь которой с истинной аномалией вы­ ражается формулой

аIT

го объекта по орбите.

Указанные полные системы кеплеровых элементов орбиты не всегда оказываются удобными. Некоторые из элементов этих систем (оь при е->0, П при г->0) теряют физический смысл, что указывает на возможность описания движения объекта в упомя­ нутых случаях меньшим числом параметров. В связи с этим Лагранж для почти круговых орбит предложил использовать систему элементов

Q, i, k, a, h, М х,

где &= ecos<i)x; h = e sin иц; М х = тк~\-М0,

а для»почти круговых орбит, но расположенных в экваториаль­ ной плоскости, системы

J\42=<лжЧ- 2 -j- M0.

Представляет также интерес для описания кеплерова движе­ ния использовать составляющие с\, с%, с3 и Ль Лг, Лз векторов с, Л по осям основной экваториальной системы координат. Помимо рассмотренных полных систем элементов, в небесной механике используются канонические системы элементов орбиты, напри­ мер, система Якоби, Делоне, первая и вторая системы элементбв Пуанкаре [25, 57, 58].

2.1.5. Модель движения в оскулирующих элементах

Для модели кеплерова движения элементы орбиты остаются постоянными. При действии возмущений реальная орбита отли­ чается от кеплеровой. Для удобства исследований возмущенного движения космического объекта каждой точке реальной орбиты можно поставить в соответствие кеплерову орбиту, которая име­

24

ла бы место, если бы начиная с этой точки движение оказалось невозмущенным кеплеровым движением. При этом предполага­ ется, что в рассматриваемой точке реальная и кеплерова орби­ ты имеют общий радиус-вектор г и общий вектор скорости V. Кеплерова орбита, отвечающая данной точке реальной орбиты в указанном выше смысле, называется оскулирующей орбитой, а

ее элементы Q(0 >i(0 >“ 4 0 >/4 0 >£(0 >** (0 , теперь уже зави­ сящие от времени, — оскулирующими элементами орбиты. Для

установления характера изменения оскулирующих элементов при изменении времени t (или какой-либо другой независимой переменной) составляют систему дифференциальных уравнений в оскулирующих элементах. Для указанных выше элементов мо­ дель движения при независимой переменной t имеет вид [57]

Р = 2г / Х;

e — f r smb -\- cos &-]-(e i~ cos ft)— / х;

i = — ■f u cos u\

P

2 = — / sin« cosec i;

/ г,/т>/и — соответственно проекции возмущающего ускорения на продолжение радиуса-вектора г, на трансверсаль в плоскости

25

невозмущенной орбиты и на направление, перпендикулярное плоскости невозмущенной орбиты.

Удобной формой модели в спекулирующих элементах являет­ ся модель вида [2]

где fj (/= 1, 2, 3) — проекции возмущающего ускорения на оси основной экваториальной системы координат; Cj, Aj (j = 1, 2, 3) — составляющие векторов с и Л по осям той же системы.

В число уравнений модели (2.1.22) должно быть включено также уравнение для кинематического элемента; в качестве ко­ торого для эллиптических орбит может быть использовано вре­ мя т* прохождения через перигей, для круговых — время т * прохождения заданного аргумента широты и0.

2.1.6. Другие нелинейные модели движения

Помимо рассмотренных выше моделей движения, распростра­ нены модели в прямоугольных объектоцентрических системах координат (начало этих систем в центре масс объекта) и топоцентрических (начало систем на поверхности Земли). Кроме прямоугольных, используются криволинейные координатные, системы — цилиндрическая и сферическая. Модель (2.1.11) кеплерова движения в цилиндрических кординатах запишется в виде

зуемый этой проекцией с положительным направлением оси Охь

26