Файл: Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства.pdf

Скачать файл (11,53Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 116

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Изменение параметра можно представить в виде двояко

периодической функции / (хъ х2) с периодами d по оси хх

и I по оси х2, удовлетворяющей условиям Дирихле. Эта

функция может быть разложена в ряд Фурье, т. е. представ

лена суммой гармоник с соответствующими постоянными коэффициентами

где cx i — комплексная амплитуда, вычисляемая по формуле:

(2. 21)

о о

Формулы (2.20) и (2.21) показывают, что функция / (х1у

х2) может быть сколь угодно точно представлена суммой

элементарных составляющих типа синусоид, каждая из которых характеризуется своей амплитудой схи, вы

числяемые из	уравнения (2.21) с учетом частот а»! =
2n t	~
= -у- и а>2 —	—j~ ■ Совокупность величин cXk носит назва

ние спектра амплитуд. Таким образом, спектральная

плотность а 1Осо2 оказывается разбитой на бесконечное мно

жество точек, отстоящих друг от друга по осям частот сох и со2 соответственно на 2уjx и 2уя . Спектральные же состав

ляющие, соответствующие этим точкам, модулируются

исходным спектром.

Известно, что наилучшая дискретизация системы дости

гается для ромбической сетки с углом в 120°. При этом, если

имеется ограниченный областью частот	СО*	спектр
	В — ^

Фурье некоторой функции / (хь х 2), то она может быть представлена с помощью дискретных значений, взятых по

углам ромбической сетки с углом в 120° и расстоянием

между точками. В этом случае аналитическая запись

теоремы отсчетов для двумерного случая будет определена

следующим выражением:

где функция отсчетов для двумерного случая:

'О)

Таким образом, если известны значения ф у н к ц и и х2)

в точках отсчетов, то она может быть полностью определена

для всех хг, х2 суммированием типовых функций отсчетов. Выражение для фу-нкций отсчетов может быть раскрыто

подробней после осуществления процесса интегрирова

ния. Следует отметить, что вывод о том, что наилучшая

дискретизация достигается при ромбической сетке, целиком

отвечает практике разработки информационного обеспече

ния АСУ таких комплексов, как отрасли коммунальных

хозяйств городов и населенных пунктов, где обычно не тре

буется очень точного воспроизведения поля контролируе

мых параметров. Достаточно чтобы ошибка приближения

не превосходила некоторых допустимых значений. Степень

такого приближения обычно связана с ограничением числа

членов бесконечного ряда (2.20) и равносильна ограничению спектра.

В качестве критерия точности воспроизведения пара

метра в АСУ целесообразно выбрать величину:

о о

Эта величина ошибки может быть выражена через спект ральную плотность G (оц, со2) случайной функции поля (спектральная плотность характеризует распределение энер гии контролируемого процесса по частотам элементарных гармоник):

00 оо 00

	(2.25)
J j G (соъ и 2) da1 da>2	j G (и) da
оо	о
где а * = ф и? + и?-

4 З а к . 6 6 5

Свойства спектра таковы, что в некотором диапазоне частот

от нуля до cot и cofe сосредоточена основная часть спектра.

Если для выбора расстояния между дискретизирующими точками использовать диапазон частот, ограниченный значе ниями сот и Wft, то определяемое поле будет воспроизведено с относительной погрешностью б.

Таким образом, воспроизведение поля параметров опре деляется спектральной плотностью G (со) и величиной час

тоты среза В, которая связана с числом замеров параметра

и заданной ошибкой б. Положим, что функция f (хъ х2) ста

ционарна по пространству. Тогда функция корреляции за

висит от разности координат xt — х\, а не от их значений,

и в этом случае спектральная плотность		определится вы
ражением:
с»		(2.26)
G (со)= J	kj(r)e~iar dr,

— СО

где r = V {xi —*i) 3+ {хг—Ха)2-

Результаты исследований показывают, что для многих тех

нологических процессов корреляционные функции имеют

вид:

kf (r) = o * e - a I Л1,	(2.27)
kf (r) = oj е ~ “ 'cos Рг,	(2.28)
где 0 j? — дисперсия случайной функции параметра; а и	[5 — пара

метры, характеризующие соответственно быстроту затухания и ко лебательность корреляционных функций, и находятся они для каж дого конкретного случая в результате соответствующей обработки исходных данных.

Подставляя выражения (2.27) и (2.28) в формулу (2.26), получим следующие аналитические выражения спектраль ных плотностей для этих типов корреляционных функций:

	2
С(ю) =	of а	(2.29)
С(ю) =	п (а2+ О)2) ’	(2.29)
Of	а	(2.30)
а 2 + (го + р)2 ■ + а 2 + (а — Р)2		(2.30)
а 2 + (го + р)2 ■ + а 2 + (а — Р)2

Так как в контрольных операциях используют такие

характеристики, как среднее значение, дисперсия, спект

ральная и корреляционная функции, определяемые по огра

ниченному числу дискретных значений контролируемого процесса, то приведем расчетные формулы оценки точности

этих характеристик. Оценка точности оу среднего значения

/ имеет вид:

П—1

			п + 2 2 (п — у) р (г/г)		,	(2.31)
			у= о
где р (г)	kf (г) — нормированная			корреляционная		функция;
V n b i1		. .	—---------	— среднее	расстояние (ра-
V n b i1		- 2 \|У /	2~\/з (п—1)

диус) фиксации поля параметров; в случае прямоугольной и ромби ческой сетки дискретизации соответственно: s — площадь поля пара метров; п — количество фиксируемых точек.

Для оценки точности дисперсии а| используют формулу

	2	2of		п — 1	(2.32)
	а„2 =	----	1 + 2 2		(2.32)
	af	п		у= 1
а для	оценки	точности		корреляционной функции
	2	от		(п — v — у \)	{р2 (г/ г) +
Okf (r)~		1		(п — v — у \)	{р2 (г/ г) +
	(« — V)2
		+ Р Кг/ +		v) г] р [(у—v)7]},	(2.33)
где v =	0, 1, 2........

Определение же точности спектральной плотности сложно

и выражение для нее весьма неудобно при практическом

использовании.

Учет этих взаимосвязей позволяет получить корреля

ционную функцию в доверительных пределах. Ясно, что

истинные величины параметров корреляционных функций

аи ( 3 будут также находиться в некоторых пределах. При этом максимальным значениям а и р соответствует крайнее левое положение начального участка корреляционной функ ции, а минимальным значениям а и Р — крайнее правое по

ложение начального участка кривой. Поэтому постоянные

аи р следует определять по нескольким характерным точ

кам кривой р (г). Так, для корреляционной функции, аппрок

симируемой выражением (2.28), имеем

	о _	_ Д _	(2.34)
	Р“ 2г0’
где го — точка, в которой			первый раз
	корреляционная функция
обращается в нуль, а	1	cos 6г,-
а-			(2.35)
	— in — + - f,
	Г]	Р (о)

4 *

где /у — /-я точка корреляционной функции на ее начальном участ-

Для корреляционной функции, аппроксимируемой вы

ражением (2.27), параметр а определяют из соотношения

р f

) =0,37.

(2.36)

Формула (2.25) связывает величину ошибки б со. спект

ральной плотностью G (со) и позволяет получать частоту В,

ограничивающую снизу спектр отбрасываемых частот. Под

ставляя конкретные выражения спектральных функций

(2.29) и (2.30) в формулу (2.25) и производя необходимые

преобразования, получим искомые расчетные зависимости

в следующем виде:

		со* =	2_				(2.37)
1		со* =	я				(2.37)
1	а	+ а	1 /	- L - + 1 1		+ 1	(2.38)
со* = —		+ а	1 /	- L - + 1 1			(2.38)
я	Y		V	т2 63	а 2

Для удобства нахождения величины б по этим выражениям

могут быть построены графики зависимости б от параметров

а и (3.

По полученному значению частоты В определяют расстоя-

ние между рядами контрольных точек, равное	1
ние между рядами контрольных точек, равное	—— , и рас
	/ 2 в ’
стояние между контрольными точками в ряду	1
стояние между контрольными точками в ряду	Уъв' причем

точки эти расположены на ромбической (треугольной) сетке. Ориентировочный расчет числа точек поля, необходимых для измерений, может быть найден следующим образом. Поло

жим, что поле контроля системы в АСУ имеет форму, близ

кую к прямоугольнику, с длиной d и шириной /, а ряды, покрывающие эту сетку поля, имеют треугольную форму

и расположены перпендикулярно длине поля d. Число

получаемых полосок на поле параметров контроля равно: