Файл: Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 0
существенно, особенно при решении многомерных задач.
При использовании явных схем условия устойчивости в не
которых случаях могут накладывать жесткие ограничения
на шаг по времени At, делая его малым по абсолютной вели
чине, что бывает не оправдано соображениями точности. При расчетах на ЭВМ это приводит к излишним затратам
машинного времени, повышению стоимости расчетов и т. п.
Поэтому в таких случаях удобно применять безусловно
устойчивые схемы, какими являются, например, неявные
разностные схемы. Однако применение неявных схем не
всегда бывает целесообразно при решении той или иной кон
кретной задачи в АСУ. Они имеют по сравнению с явными
схемами более громоздкий и сложный алгоритм вычисления,
который может быть связан с решением задач для вектор
ных величин. Кроме того, в некоторых случаях при числен ном решении разностного аналога дифференциальных урав
нений с помощью неявных схем методом прогонки для до
стижения заданной точности приходится производить боль
шое число итераций для каждого шага по времени. При этом увеличение шага по времени вызывает рост числа итераций для того, чтобы обеспечить приемлемую степень точности численного решения. В практике вычислений нередко встречаются задачи, когда приходится рассчитывать слож ные системы для математического моделирования задач управления в АСУ. Примером являются сложные схемы
взаимосвязанных трубопроводов подачи холодной или горя чей воды, газа в коммунальных хозяйствах городов. Такие многосвязанные системы можно представить как совокуп ность некоторых отрезков, концы которых примыкают друг к другу, образуя узлы. В узлах задаются граничные усло вия, связывающие основные параметры потока для смежных
отрезков. Физико-технологические процессы внутри каж
дого отрезка описываются некоторыми дифференциальными уравнениями или системой уравнений. Построение схе
мы прогонки при численном решении дифференциальных
уравнений с помощью неявных разностных схем для таких больших систем связано со значительными трудностями или
построение их невозможно.
Схема прогонки реализуется при помощи методов сквоз
ного или бегущего счета, которые вследствие сравнительной
несложности вычислительного алгоритма успешно приме няют для численного интегрирования. Наряду с удобствами
численной реализации эти методы дают слабое ограничение устойчивости и обеспечивают достаточно высокую точность
w* |
131 |
|
аппроксимации дифференциальных уравнений разност
ными.
Имеется ряд других конечно-разностных схем, облада
ющих слабым ограничением устойчивости и обеспечивающих
достаточно высокую точность численных решений. При ре шении уравнений параболического типа, в частности линей
ных уравнений типа теплопроводности, в некоторых слу
чаях целесообразно использование так называемых асим
метричных разностных уравнений. К ним относятся методы перемежающийся и среднего арифметического. Сущность
перемежающегося метода заключается в поочередном ис
пользовании при расчете временных слоев асимметричных
разностных уравнений, просчитываемых в разных направ
лениях. Например, нечетные слои по времени рассчиты
вают по соответствующим формулам справа налево, а четные
наоборот, т. е. слева направо. В силу того что погрешности
аппроксимации каждого из асимметричных уравнений, про
считываемых в разных направлениях, имеют противопо ложные знаки, поочередное применение указанных разност ных уравнений значительно уменьшает погрешности при вычислении искомых величин, чем в случае использования только одного асимметричного разностного уравнения. Особенно это обстоятельство будет проявляться при доста точно большом промежутке интегрирования по времени.
При использовании метода среднего арифметического искомые величины для каждого слоя по времени рассчиты вают следующим образом. По одной из асимметричных раз
ностных формул уравнения просчитывают слева направо,
по другой — справа налево. В качестве окончательных ре
зультатов для искомых величин на каждом слое прини
мают среднее арифметическое соответственных результатов двух просчетов. Метод среднего арифметического имеет погрешность, близкую к нулю, слабое ограничение устой чивости, что делает его применение весьма эффективным при построении математических моделей с помощью ЭВМ. Конечно-разностные методы могут быть широко использо ваны для решения различных задач управления, опти
мизации технологических процессов в АСУ отраслей ком
мунальных хозяйств городов и населенных пунктов.
§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭЦВМ
Наиболее перспективными методами, которые можно
использовать для реализации задач оперативного управле ния в АСУ, являются методы математического моделиро вания. Сущность этих методов заключается в том, чтобы при разумном упрощении исходных уравнений, характеризу ющих производственные или технологические процессы в системе, используя те или иные математические приемы,
так произвести это упрощение, чтобы, не увеличивая по
грешности решений, получить выигрыш в машинном вре мени счета при быстрой сходимости вычислительной про цедуры. Математическая модель должна позволять в АСУ
анализировать различные ситуации в областях нормальной
ее эксплуатации. Она может быть использована для реше ния задач в подсистеме оперативного управления АСУ. Как основа для дальнейшего описания проблемы матема тического обеспечения АСУ, ниже кратко изложены отме
ченные в предыдущем параграфе методы математического
решения систем линейных и нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных, получивших наибольшее
распространение в практике исследований задач управле
ния в АСУ.
Как уже отмечалось выше, для решения дифференциаль
ных уравнений в частных производных наиболее часто поль зуются разностными методами. Основой этих методов яв
ляется аппроксимация математических уравнений разност
ными. Известно, что в силу определения производной при малых величинах h имеет место приближенное равенство:
df f(x+h)— f (х) |
|
Т х ~ — |
(ЗЛ) |
где h — шаг разбиения по оси Ох.
Приближенное равенство типа уравнения (3.1) не един
ственно. Например, |
можно использовать |
соотношение: |
4 |
1 |
(3.2) |
/' ( * ) » |
l f i x + h ) - f ( x - h ) ] . |
Для доказательства приближенного равенства (3.2) раз
лагаем / (х + h) и / (х — К) по формуле Тейлора в ок рестностях точки х, предполагая, что функция непре рывна:
133
-^Г [/ (* 4 h) - f ( x |
— ft)) .= |
2A |
/W 4 /i|'W |
4 y |
/"(*) + |
|
2A |
A3 |
1 |
|
A2 |
|
|
4 |
|
|
|
|||
— / " '( * + 0ift)J |
/ ( * ) - / « / '( * ) + у /*(*)- |
|||||
|
A3 |
02ft) |
■ = / ' W 4 у / '" ( * 4 |
Oft), |
||
|
D |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
где Oj, 02, 0 — коэффициенты, удовлетворяющие |
условиям 0 < 0 Х< 1; |
|||||
0 < 02 < |
1 и 16 1 < |
1. |
|
|
|
|
При уменьшении гладкости функции f (х) порядок мало сти остаточного члена ниже. Формулы, аналогичные при
ближенным равенствам (3.1) и (3.2), существуют для про
изводных любого порядка от функций любого числа пере
менных. Например, для функции
дх dy |
( *+ ft, y + h ) - u ( x - h , |
У4-й)- |
Ah.2. |
|
|
— u { x + h , у— h ) + u ( x — А, у — А)]. |
(3.3) |
|
Доказательство справедливости приближенного равен
ства (3.3) и оценку остаточного члена можно получить,
как и выше, с помощью формулы Тейлора. Приближенные
равенства типа (3.1)—(3.3) можно написать не только для производных, но и для более общих дифференциальных вы
ражений, в частности, для левой части любого дифференци
ального уравнения. Для этого, например, достаточно каж дую производную заменить формулами типа (3.1)—(3.3). Имеются и другие способы. Замену производных линейными комбинациями значений самой функции в отдельных точках
и используют для численного решения дифференциальных
уравнений. В результате получают новые соотношения, которые и называют разностными уравнениями. Поясним сказанное выше следующим примером. Рассмотрим урав нение:
(з.о
дР дх2
где L t — некоторая постоянная, имитирующая длину трубопро вода. Начальные условия уравнения (3.4)
l0ut = ut (0, х) = сро (•*);
l\U t — u'i (0, x) = <f>i(x), |
(3.5) |
где Iо, li — параметры Lt, соответствующие нулевым условиям; фо,-фх — функции, соответствующие нулевым условиям.
134
Заменим уравнение (3.4) разностным соотношением
tth (< + т, x ) — 2uh (t , x ) + u h ( t — x, x f
R h u h i |
|
|
|
щ t (t, x + !i) — 2 u h ( t, x ) + U h ( t , x — h) |
= / (t, x ), |
(3.6) |
|
Л2 |
|||
|
|
где R ^ K U h — аналоги Lt и и* при этой замене.
Начальные условия (3.5) заменим равенствами следующего
вида:
rh o uh = Uh (0, *)= < р о (*);
uh (т, х) — u h (0, х) |
(3.7) |
% “h = ---------------------- =Ф1 (*)• |
Уравнение (3.6) и начальные условия (3.7) будем рассматри
вать только на множестве точек с координатами: t = пгт, х =
= nh, (m = 0, 1, 2, 3, |
...; |
п — 0,- ± 1 , |
..., где m — число |
разбиения по времени, |
шаг |
которого т; |
п — число разбие |
ния по оси Ох, шаг которого К).
Это принято называть сеткой. Всякая функция и (t, х),
определенная на полуплоскости t ^ 0, определена, в част ности, и на сетке. Поэтому в точках сетки для нее имеют
смысл выражения R h и, rha и и Гд, и.
С помощью формулы Тейлора можно проверить, что в случае достаточной гладкости функции и (t, х) в точках
сетки справедливы равенства:
Rh uh = П «Н- О(т2 + Л2)
и
|
гк 1 ик = к Щ + 0 (т). |
|
Отсюда |
следует, что |
R huh —>■ L tut при т -э- О и h -> О |
и /-ft, uh |
lxut при т -> 0 . |
Кроме того, Гй0 uh = l0ut. Таким |
образом, уравнение (3.6) и начальные условия (3.7) аппрок симируют уравнение (3.4) и начальные условия (3.5). Зная
из выражения (3.7) значения uh (0, х) и uh (т, х) и исполь
зуя уравнение (3.6), можно последовательно вычислить
значения функции uh при t — 2т, Зт, ..........., тх.
Не следует думать, что во всех случаях решение функ
ции uh разностного уравнения, аппроксимирующего диф ференциальное, стремится при измельчении сетки к соот
ветствующему решению ut дифференциального уравнения.
Так, если в предыдущем примере шаги сетки т и h подчи
нить условию = г > 1, где г — постоянная, независящая
135
от величины h, то функция uh, вообще говоря, не стремится к величине ut при h -н>- 0. В самом деле, известно, что зна
чение формулы и (1, 0) решения задачи(3.4) и (3.5) зависит
от значений функций «ДО, х) и щ (0, х) на отрезке \х | ^ 1
и не зависит от значений этих функций при | х | > 1. |
Отре |
|
зок | х | |
^ 1 ограничивается на оси Ох двумя характери |
|
стиками |
уравнения (3,4), проходящими через точку |
t = 1, |
х = 0. |
|
|
Если величина т равна ^ , где т — некоторое натураль
ное число, тогда точка (1, 0) принадлежит сетке. Значение
функции uh (1, 0) решения разностного уравнения в точке
(1, 0) выражается с учетом уравнения (3.6) через значения uh в трех точках: (1 — т, —h), (1 — т, 0), (1 — т, К) преды дущего ряда t — \ — т сетки и через значение uh (1 — 2т, 0) в одной точке сетки, лежащей на ряде t = 1 — 2т. Три этих значения в свою очередь выражаются через значения
uh в пяти точках сетки, лежащих |
на |
ряде t = 1 — 2т, |
и |
в трех точках сетки, лежащих на |
ряде |
t — 1 — Зт, и т. |
п. |
В конечном счете значение uh (1, |
0) выражается через зна |
||
чение |
uh в 2т — 1 |
точках сетки |
ряда t = х и в 2 т — 3 |
точках |
сетки ряда |
t = 0. Для вычисления этих значений. |
|
uh с учетом начальных условий (3.7) используются значе
ния ut (0, |
х) и и\ (0, х) только на отрезке | х | ^ mh = |
у при |
тх = у < |
1. Если при шаге h, стремящемся к нулю, |
имеет |
ся сходимость функции uh с величиной щ, то достаточно изменить начальные условия ut (0, х) = ф0 (х) и и[ (0, х) =
= (х) в промежутках — < | х | < 1 таким образом, чтобы
изменилось значение щ (1, 0), и сходимость нарушится, так как это изменение начальных условий не отразится на зна чениях uh (1, 0). Если такой сходимости нет, то разностное
уравнение, очевидно, непригодно для численного решения
дифференциального уравнения. Таким образом, важно установить достаточные признаки того, чтобы решение раз ностного уравнения при измельчении сетки стремилось
к решению дифференциального уравнения, что будет пока
зано ниже. Опишем понятие устойчивости разностного урав
нения, имеющее самостоятельное значение.
Ошибки округления, неизбежные при задании граничных
условий и правой части разностного уравнения, влияют на его решение. Это влияние не должно быть слишком сильным при измельчении сетки, т. е. разностное уравнение должно
136