Файл: Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства.pdf

быть устойчивым (относительно возмущения граничных

условий и правой части). В противном случае оно практи­

чески непригодно для численного решения дифференциаль­

ного уравнения, так как при крупной сетке нет основания ожидать, что решение первого уравнения будет мало от­ личаться от соответствующего решения второго, а при мел­ кой сетке малые ошибки, допущенные в граничных условиях и правой части, недопустимо исказят решение разностного

уравнения.

Понятие об устойчивости разностного .уравнения отно­

сительно возмущения граничных условий и правой части

аналогично понятию непрерывной зависимости решения диф­

ференциального уравнения от граничных условий и правой

где е — некоторый минимальный параметр при нулевых начальных условиях.

Функция uh, которая прибавится в результате этого к решению задачи (3.6) и (3.7), удовлетворяет однородному

уравнению, соответствующему уравнению (3.6) и началь­

ным условиям:

и ь ( 0, nh) — т ( — 1)п е, щ ( х , n h ) = —Зт ( — 1)п е.

Можно непосредственно проверить и убедиться, что она имеет вид:

Uh(tnx, nh) = ( — \)т + п Зт хе.

Возмущения, сообщенные начальным условиям, можно понимать как ошибки округления, допущенные при задании

начальных условий, а при наличии функции uh — как соот­ ветствующую ошибку в решениях. При т - > 0 и фиксиро­

ванном t = тх множитель Зшт, входящий в выражение

uh (тх, nh), быстро растет, т. е. чувствительность решения

уравнения (3.6) к ошибкам округления, допущенным при задании начальных условий, быстро увеличивается.

137

При ( = 1 и т = j имеем Зтт « 20, а при т = ^ мно-

естественно считать неустойчивым. Существование неустой­

чивых разностных уравнений и неудобство таких выражений

для практических целей выдвигают задачу об анализе устой­

чивости разностных уравнений.

Устойчивое уравнение. В выражении (3.6) положим величину х = h. Тогда оно примет вид:

uh ( t + % , x ) = uh ( t — x , x ) — uh (t, x + h ) — uh (t, x — h) — /г2 f (t, x).

Изменим правые части начальных условий (3.7) и правую

часть уравнения (3.6), прибавив к ним соответственно функ­

ции фА„ (*), фЙ1 (х) и fh (t, х). Функция uh (t, х), которая

прибавится при этом к-решению задачи (3.6) и (3.7), удов­ летворяет уравнению:

а тй— положительное целое число, которое для определен­ ности будем считать нечетным. Построим треугольник, огра­

точку ((0, 0). Для каждой точки (/пт,, nh) сетки, которая

лежит строго внутри указанного треугольника и когда

т + п есть четное число, напишем уравнение (3.8) и затем сложим эти уравнения почленно. Если величина т + п — нечетное число и точка (тх, nh) вместе с ближайшими к ней

Поэтому после приведения подобных членов функция uh (тх, nh) тоже не войдет в выражение, полученное суммированием

уравнений (3.8). Подсчитывая подобным образом коэффи­ циенты при uh (тх, nh) для всех точек сетки (тх, nh), лежа­

138

щих внутри и на границе указанного выше треугольника,

результат почленного сложения уравнений (3.8) можно

139

где max — максимум, взятый по тем точкам сетки, по которым сум

д

мировались уравнения (3.8).

Итак,

вым для значений uh в точках сетки, не лежащих на оси t. Это неравенство означает устойчивость разностного урав­

малое изменение решения uh.

Можно сказать, что неравенство типа (3.10) сохраняется, если т < ih , т. е. устойчивость разностного уравнения (3.6) имеется и в этом случае. Рассмотрим теперь сходимость

разностного уравнения как следствие его устойчивости. До­

кажем, что при т — h решение uh из уравнений (3.6) и (3.7)

стремится к решению щ из уравнений (3.4) и (3.5). При этом

используется только равенство (3.10), т. е. устойчивость

условиям), имеющие место для всякой гладкой функции, —

аппроксимация дифференциального уравнения (3.4) и на­

чальных условий (3.5) разностным уравнением (3.6) и на­

Bj (х, h). Из неравенства (3.10), примененного к функции

140