Файл: Баясанов, Д. Б. Автоматизированные системы управления трубопроводными объектами коммунального хозяйства.pdf

вующйе приближенные аналитические методы решения этих

уравнений не могут претендовать на универсальность и при­

годность для анализа всех возникающих задач, связанных с вопросами управления закольцованных и взаимосвязан­ ных трубопроводов.

Динамические особенности гидравлических процессов в трубопроводах в принципе можно оценить при помощи

физического эксперимента на реальных объектах. Но это

сопряжено с большими трудностями, и не всегда возможно,

учитывая то, что рассматриваемые продуктовые системы

коммунальных хозяйств являются строго режимными соо­

ружениями, нарушения в работе которых недопустимы.

Кроме того, повышающаяся сложность закольцованных

трубопроводных систем в большинстве своем не позволяет

однозначно установить роль и влияние того или иного фак­

тора и параметра на общий переходный процесс в системе. Поэтому здесь еще больше возрастает роль математического моделирования описываемых объектов на ЭЦВМ.

Следовательно, дальнейшее изложение материала по­ строим в этом аспекте и, в связи с небольшим объемом моно­ графии, в качестве примера для описания возьмем только

систему городских газопроводов. Наиболее эффективное

решение вопросов управления режимами газоснабжения

может быть достигнуто при полной информации об основ­ ном управляемом процессе — неустановившемся движении газа в распределительных газопроводах низкого, среднего и высокого давлений. Этот процесс обусловливается часо­ вой неравномерностью газопотребления, а также изменения­ ми давлений газа на входе системы. Режим неустановившегося течения газа характеризуется изменением во времени

основных параметров его в газопроводе: скорости, давления,

плотности.

Известно, что уравнения, описывающие одномерное

неустановившееся течение газа по горизонтальному трубо­

проводу, составленные из предположения наличия условий

постоянства распределения скоростей потоков и давлений

по сечению газопровода, имеют следующий вид:

146

где х —'координата длины; t — координата времени; с2 = ^ —

квадрат скорости звука в газе; Р — давление газа; g — ускорение силы тяжести; Z — коэффициент сжимаемости; R —• газовая по­ стоянная; Т — абсолютная температура; i — энтальпия (теплосо­ держание); А — термический эквивалент работы; X — коэффициент гидравлического сопротивления; р — плотность газа; v — скорость движения газа в газопроводе; D — диаметр газопровода.

Первое равенство (3.11) называется уравнением Движения

d(pv)

газа, член которого ^ у показывает изменение расхода

в динамике и характеризует силы инерции движущегося

газа. Член определяет уменьшение давления от трения

по длине газопровода в статике и в динамике. Второе урав­ нение системы (3.11) является уравнением неразрывности газового потока для одномерного течения газа, и его выво­ дят на основании закона сохранения массы для сжимаемой

среды. Третье и четвертое равенства системы соответственно

являются уравнениями состояния и энергии. Из системы

уравнений (3.11) в принципе и определяют величины Р,

р, v и Т.

' Рассмотрим систему неустановившегося течения газа, определяемую Р и pv для малых изменений температуры, которыми можно пренебречь и считать движение изотерми­ ческим, т. е. Т = const. Для этого случая будет справедли­ ва следующая система уравнений:

Система уравнений (3.12) является сложной нелинейной системой дифференциальных уравнений в частных произ­

водных. Она нелинейна из-за наличия нелинейного члена

Линейной она будет только тогда, когда течение газа

ламинарно, для которого потери напора пропорциональны первой степени скорости. Решение нелинейных уравнений

в частных производных является в принципе выполнимым,

но очень трудным процессом. Здесь возможны решения для отдельных частных случаев методами численного инте­

грирования. В общем виде эту систему не решают. Для реше­

ния системы уравнений (3.12) используют различные спо­ собы их упрощения. Наибольшее распространение получи-

147

ли методы усреднения по скорости, пренебрежения скорост­ ным напором и его производными по длине, усреднения по

плотности. Необходимо отметить, что для газопроводов

низкого давления, где имеются сравнительно небольшие пе­

репады давления, для решения задач неустановившегося течения газа может быть применен метод линеаризации ос­ реднением скорости по длине газопровода, предложенный И. А. Чарным. Следуя этому методу, можно принять мно-

Xv

житель -=- постоянным и равным его среднему значению по

длине и времени,т. е.

В результате такой линеаризации получают следующую си­

стему линейных дифференциальных уравнений в частных производных:

Такая линеаризация допустима только для решения задач

при условиях течения со скоростью не более 100— 150 м/сек и меньше. Обычно в городских газопроводах такие скорости

не достигаются.

Систему уравнений (3.14) в настоящее время интегри­ руют следующими способами: модификациями классичес­

ких методов Фурье-Бернулли, методами операционным

и контурного интегрирования в плоскости комплексного

переменного частоты со. Успех интегрирования системы

уравнений (3.14) тем или иным способом зависит от поста­ новки задачи, т. е. от вида начальных и граничных условий. Так, один из наиболее простых способов — операционный метод — позволяет реализовать решение задач в тех слу­ чаях, когда получаемые изображения имеются среди таблич­

ных данных. Если же получаемые изображения не находятся

среди табличных данных, то переход к оригиналам может явиться самостоятельной математической задачей, требую­

щей специального метода решения.

Проанализируем систему (3.14) частотным методом, ши­

роко применяемым в теории автоматического управления и регулирования. Здесь для оценки влияния параметров

148

газопроводов и режимов течения газа на динамику процес--

сов нет необходимости располагать решением системы урав­ нений (3.14). Исходным материалом для анализа линейной

системы уравнений (3.14) частотным методом служит ее частотная характеристика.

Учитывая, что расход газа по массе в любом рассматри­

ваемом сечении газопровода по его длине G = vpgF, из

системы уравнений (3.14) получим:

этого продифференцируем уравнение (3.16) и подставим

значение — ^ —- в уравнение (3.17). В результате получим равенство:

откуда

Это дифференциальное уравнение второго порядка для дав-

ленйя Р по неизвестной переменной х. Характеристическое

уравнение для этого дифференциального уравнения будет иметь вид:

149