ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
Так как величины /р (г!) являются функциями времени, то усло вия (II 1.6) С. А. Чаплыгина не могут дать ответ на вопрос об инте грируемости уравнений связей (III. 19).
Попытаемся найти непосредственные пути интегрирования уравнений связей (II 1.19). Умножая каждое уравнение на dt и интегрируя их, получаем
J da а — |
J j 1 (t) а х |
dt |
= |
Сг; |
|
|
j |
da3— |
Jj 2 (t) â x |
dt |
= |
C2; |
(II 1.20) |
j |
dar — J /V ( t) a xdt |
= |
C s-. |
|
||
Пусть постоянные |
интегрирования будут равны нулю |
Сх — |
|||||||||
= С2 = |
• • • = СѴ = |
0, |
что не нарушает общности выводов. Вто |
||||||||
рые интегралы в левой |
части уравнений (II 1.20) при |
интегриро |
|||||||||
вании по частям |
будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
j |
/ р (t)à i dt = /ß(t)a i — j ai/p |
(t)dt. |
(III .21) |
|||||||
Подставляя выражения (IП.21) в уравнение (III.20) и считая |
|||||||||||
Cß = 0 |
(ß = 1, 2, |
. . ., s'), |
имеем |
|
|
|
|
|
|||
|
a 2 — /і (0 ai + |
j a ji |
(0 dt = |
0; |
|
|
|||||
|
a 3 — /2 (t)<xi + |
} a j 2(t) dt = |
0; |
(III.22) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
a, — A (t) a i- f |
Jai fs-(t)dt = 0, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h (0 = |
|
dt |
|
|
|
|
|
Полученные выражения (II1.22) дают конечные результаты, |
|||||||||||
если а х |
— а х (t) и /ß (£) |
(ß = 1, 2, |
. . ., s') заданы как |
известные |
|||||||
функции времени. В частном случае при |
(t) — const = |
и |
|||||||||
/ß = 0 уравнения |
(II 1.22) |
имеют |
вид |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a 2 |
/іРН — 0; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
a 3 |
/ 2^ 1 |
~ |
0> |
|
(II 1.23) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a r — ;Ѵа і |
= |
о. , |
|
|
|
||
Рассмотрим аналогичные уравнения связей для последователь ной фрикционной передачи (см. рис. 14, а):
«г — à |
(0 cil = |
0; |
|
||
“ з — |
І 2 |
(t) а 2 |
= |
0; |
(III.24) |
|
|
|
|
|
|
a r — |
js' ( t ) a r- |
1 = 0, |
|
||
где a 1 — скорость ведущего вала, имеющего число оборотов п 0. Остальные обозначения те же, что и в формуле (III.19).
Уравнения связей (II 1.24) запишем в виде, аналогичном выра жению (III. 19)
|
|
“ г— Іі (t) «î |
= |
0; |
|
|
|
|
||
|
|
«8 — /2 (0 i l |
(О«1 |
= |
0; |
|
|
} |
(III.25) |
|
“г — /s ' |
(0 / s ' - 1(t)•••/* |
(0 |
i l |
(0 <*! |
= |
0. |
|
) |
||
Умножая каждое уравнение (III.25) на Л |
и интегрируя их, |
|||||||||
получаем |
|
Jda2 — J ji(t)àidt |
|
|
|
|
|
|||
|
|
= С'; |
|
|
|
|
||||
|
|
j е!а3 —J /2 (t) /і (0 a i dt = С'; |
|
|
(III.26) |
|||||
J dar—J /V(/)/>_!(0••/2(0■/і(0âi |
dt |
= |
Cs-. |
|
||||||
Пусть, как и ранее, постоянные интегрирования будут равны |
||||||||||
нулю, Сі = |
Сг = |
• ■• = CS' = 0. |
Обозначая |
|
/р (^) /р_і (£) • • • |
|||||
• • ■/і (0 = |
/oß (0> запишем вторые интегралы левых частей урав |
|||||||||
нений (II 1.26) при интегрировании по частям: |
|
|
|
|
||||||
|
j /ор(t) ai dt = /о,з(0«і — J «і/oß (t) dt, |
|
(111.27) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
djoß (О hß dt
Тогда выражения (III.26) с учетом того, что Ср = 0, будут иметь вид
а 2 — /і (t)ai -f J aJl (0 dt = 0;
|
«з — h (0 /і (0 «î + j «i/o2 (0 Л |
= 0; |
|
(III.28) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
«Г— /V (0 is’-i |
(t) ■■■h (0 h (0 ai + |
j ai 4 ' (0 dt = |
0. |
|
|||
Выражения (III.28) имеют конечные значения при |
= а г (^) |
||||||
и /оз (0 |
(ß = 1, 2, . . ., s') — известных |
функциях |
времени; при |
||||
/р (0 = |
const = /р |
уравнения |
(III.28) |
будут следующие |
|
||
|
|
a 2 — /і«! = |
0; |
|
|
|
|
|
|
a 3 — І2Іi«i = |
0; |
|
|
(111.29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a r j s ' j s ' — l • • ’ / 2/ 1® ! = 0, |
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 — |
/ і « і = |
0; |
|
|
|
|
|
a 3 — |
/ 2a 2 = |
0; |
|
|
(III.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<xr |
/s'a*—1 = |
0. |
|
|
|
Выражение (III.30) дает s = s' уравнений голёномных связей. Рассматривая, таким образом, выражения (II 1.22) и (III.28), можно заключить, что если /р (£) (ß = 1, 2, 3, . . ., s') — опре деленные заранее заданные функции времени, то при любом из вестном движении только одного ведущего вала а х = а.1 (t) полу чаются вполне определенные соотношения для обобщенных коор динат a lt a 2, a 3, . . ., аг. Следовательно, выражения (ІІІ.22)>и (III.28) в этом случае являются уравнениями голономных связей. Если /р (t) (ß = 1, 2, 3, . . ., s') — заранее неизвестные и неопре деленные функции для уравнений (III.22) и (III.28), зависящие от первых интегралов соответствующих дифференциальных уравне ний движения валов, то невозможно получить соотношения между координатами a х, а 2, . . ., ап не решив предварительно дифферен циальных уравнений движения и не найдя соответствующие функ
ции /р (t) на основании а ъ ос2, . . ., аг. В таком случае уравнения связей (III.22) и (III.28) являются неголономными.
Голономная механическая система при известных функ циях /р (t) описывается одним или k = г — s дифференциальными уравнениями первого порядка при любом числе масс. При этом в зависимости от вида функции /р (t) . f/p (0 = const или
jp (t) Ф const] получается дифференциальное уравнение с посто янным или переменным приведенным моментом инерции J (а).
На основании изложенного можно сделать вывод, что задание для неголономной системы передаточных чисел /ß (t) (ß = = 1 , 2 , . . . , s'), как определенных функций времени неправо мерно, так как значения /ß (/) могут быть определены только после решения всех дифференциальных уравнений.
|
Задание для механической системы с неголономными связями |
||||||
определенных величин /ß (t) |
означает следующее: |
связям |
ß = |
||||
= |
1. Параллельно соответствующим неголономным |
||||||
1 , 2 , . . . , s' |
существуют |
какие-то |
голономные |
связи |
ß' = |
||
= |
1, 2, . . ., s', |
которые по существу |
превращают механическую |
||||
систему в |
голономнуюі |
|
|
|
|
||
|
2. Для |
неголономной системы уже известны обобщенные ско |
|||||
рости а г, а 2, . . ., аг, которые могут быть получены только после решения системы из г дифференциальных уравнений при вполне определенных начальных условиях и внешних возмущениях. Ис пользование полученных значений /ß (t) при других внешних возмущениях и начальных условиях невозможно, и следовательно, в общем случае недопустимо задание /ß (t) для неголономной системы.
При получении уравнений движения неголономной системы используют метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этого исходят из уравнения Лагранжа—Даламбера
|
|
|
|
(III.31) |
где |
Qj — обобщенная сила; |
системы; |
||
|
Т — кинетическая энергия |
|||
/ = |
ôqj — вариации обобщенных |
координат; |
||
1, 2, . . ., г — число |
материальных точек |
системы. |
||
Если возможные перемещения механической системы не за |
||||
висят от времени, т. е. Cß = |
0, то на основании выражения (II 1.5) |
|||
имеем |
|
|
|
|
|
t c ß/6 ^ = 0 |
(ß = 1,2,3, . . . . s'). |
(ПІ.32) |
|
Произвольных координат из всего количества г при этом будет k = г — s'. Величина k определяет число степеней свободы, т. е. число независимых, выбранных произвольно вариаций обобщен ных координат системы.
Умножив выражение (ПІ.32) на неопределенный множитель Лагранжа Xß и сложив с уравнением (II 1.31), получим
дТ \ дТ
дд,- ) <%