Файл: Авдеев, Ю. Ф. Преддверие сказочного мира. (Космос, баллистика, человек).pdf

короче само по себе уравнение, проще его вид, тем, очевидно, меньше математических операций необходимо проделать для его численного решения. Поэтому баллистики всеми силами стремятся упростить вид уравнений, сделать их более удобны­ ми для вычислений и контроля проведенных вычислений, под­ бирают подходящим образом специальные системы координат, самыми хитроумными способами вводят новые независимые -переменные — словом, колдуют на все лады. Но и здесь еще предстоит сделать чрезвычайно много. И все это для того, что­ бы упростить и тем самым ускорить и, если так можно выра­ зиться, удешевить процесс вычислений.

Существует, правда, и иное мнение: зачем, мол, мудрить над уравнениями движения, давайте лучше сделаем электрон­ ные вычислительные машины с еще большими скоростями вы­ числений — и делу конец. Это — путь наименьшего сопротив­ ления и он, очевидно, в корне неправилен. Увеличивая только быстродействие вычислительных средств, не обращая внима­ ния на математическую сторону вопроса, мы тем самым зна­ чительно проиграем в качестве решения задачи. А ведь каче­ ство — это основа понимания существа явления. Не разобрав­ шись качественно в характере полета космического аппарата, нельзя надеяться на успех его осуществления. Рано или поздно недостаток знаний даст о себе знать. И хорошо, если дело за­ кончится только кратковременной отсрочкой полетов. Всякое одностороннее развитие технической мысли вредно. Техниче­ ский прогресс должен осуществляться одновременно во всех направлениях. Нужно ли увеличение быстродействия электрон­ ных вычислительных машин? Да, нужно. Но столь же необхо­ димо дальнейшее развитие и методов вычислений, методов про­ ведения качественного анализа и приближенных, аналитиче­ ских приемов контроля вычислений и обобщения получаемых результатов. Только при этих условиях возможен дальнейший прогресс в области осуществления космических полетов.

Рассказывают, что однажды один инженер случайно ока­ зался в отдаленной глухой деревушке и остановился на ноч­ лег у незнакомого ему пана Юзефа. Пан Юзеф очень понра­ вился инженеру своей самобытностью и, несмотря на свою ма­ лограмотность, незаурядной технической смекалкой. Напри­ мер, он сделал сам ветродвигатель и с помощью его качал во­ ду для своего огорода. Инженер, разумеется, похвалил пана Юзефа и сказал, что если у пана Юзефа возникнут какие-либо вопросы, то пусть он напишет или приедет к нему. И вот од­ нажды, к величайшему удивлению инженера, пан Юзеф пред­ стает перед ним.

80

—Помоги мне, — говорит он инженеру. — Я придумал хитрую машину, только не знаю, как сделать одну деталь.

Пан Юзеф приносит обитый фанерой ящик и ставит его пе­ ред инженером.

—Смотри, — говорит, — с одной стороны ящика есть боль­ шое отверстие, а с другой — меньшее с вделанным в него же­ лобком, обитым мягкой кожей. В большое отверстие я буду класть различные металлы — железо, медь, сталь, а также стекло, а из меньшего по желобку будут скатываться ручные часы. Эту машину придумал я сам. В ней мне только одно непонятно — что нужно сделать внутри ящика?

Это шутка. Но не будем уподобляться пану Юзефу и стро­ ить из уравнений движения ящик с двумя отверстиями — боль­ шим и малым: в большое закладывать начальные условия, а из малого получать прогноз движения. Пустой ящик сейчас заполняется электронной вычислительной машиной. Чем еще можно заполнить его? Баллистики знают только один замени­ тель: вложить туда формулы, дающие аналитическое решение уравнений движения, которые позволяют без громоздких чис­ ленных расчетов определить прогноз. Может быть, вы сможете получить эти формулы? Что ж, вам даны для этого все воз­ можности и, поверьте, баллистики встретят ваш успех с самой искренней благодарностью.

Прогноз и теория эллиптического движения

В одном случае специалисты небесной механики нашли прекрасный заполнитель для «пустого ящика пана Юзефа» — это теорию эллиптического движения. Мы уже упоминали о ней, но сейчас остановимся более подробно. Эта теория возник­ ла в результате решения следующей задачи. В космическом пространстве движутся две материальные точки, массы кото­ рых известны. Требуется определить траектории их движения, если они притягиваются друг к другу в соответствии с законом Ньютона. При этом предполагается, что действие каких-либо других сил, например, притяжение планет Солнечной системы, звезд, световое давление и т. д., отсутствует. Согласно изложен­ ному ранее, вместо материальных точек можно рассматривать тела конечных размеров, имеющих ту же массу, но представ­ ленных в виде однородных шаров или сфер, поскольку их взаимное притяжение эквивалентно притяжению материаль­ ных точек. Понятно, что взятые условия задачи никогда (имен­ но никогда!) в точности не выполняются на практике, по­ скольку, во-первых, ни одна из известных планет или каких-

либо иных небесных тел не является в точности шаром и, вовторых, кроме взаимного притяжения взятых тел на них еще действуют силы притяжения других тел. Следовательно, в та­ кой формулировке задача носит идеализированный характер и уже поэтому мы не вправе безоговорочно применять ее для решения практических задач. Несмотря на это, результаты ре­ шения данной задачи находят широкое применение во многих прикладных вопросах и всякий уважающий себя баллистик никогда не пренебрегает ими.

Задача эта возникла не случайно. В природе можно найти множество примеров, когда условия задачи почти удовлетво­ ряются. Например, движение электрона относительно ядра в атоме водорода; движение Венеры, Марса, Земли и других планет вокруг Солнца; вращение Луны вокруг Земли. Здесь, слово «почти» надо понимать так, что в процессе движения оп­ ределяющим является взаимное притяжение ядра и электрона,. Солнца и Венеры, Земли и Луны и т. д., то есть налицо явно выраженное притяжение двух тел, тогда как притяжение дру­ гих тел является на много порядков меньше. Кроме того, по своей форме и структуре каждое из этих тел достаточно близ­ ко к однородным шарам и поэтому их можно приближен­ но рассматривать в виде материальных точек. Вот поэтому сформулированная задача имеет большой практический ин­

терес.

Точно так же эта задача распространяется на движение космического аппарата относительно какой-либо планеты. В этом случае полагается, что гравитационное поле планеты является центральным, а космический аппарат представляется материальной точкой, причем масса его является бесконечно малой по сравнению с массой планеты.

Основные закономерности движения планет в центральном поле сил были открыты Кеплером в начале XVII века в ре­ зультате анализа видимого движения Марса относительно Солнца. Применительно для космических аппаратов эти зако­ ны можно сформулировать следующим образом:

П е р в ы й з а к о н К е п л е р а . Движение космического ап­ парата происходит по круговой, эллиптической, параболиче­ ской или гиперболической орбите. Один из фокусов орбиты совпадает с центром небесного тела.

В т о р о й з а к о н К е п л е р а . Если из центра небесного тела провести радиус-вектор к космическому аппарату, то пло­ щадь, ометаемая радиусом-вектором в единицу времени в лю­ бой точке орбиты, есть величина постоянная.

Т р е т и й з а к о н К е п л е р а . Квадраты периодов обра­

82

щения двух космических аппаратов, движущихся по эллипти­ ческим или круговым орбитам, относятся как кубы больших полуосей этих орбит.

Мы не будем заниматься математической формулировкой законов Кеплера, но дадим к ним некоторые пояснения, уточ­ няющие геометрический и физический смыслы движения в центральном поле сил.

Из этих законов прежде всего следует, что орбита косми­ ческого аппарата будет плоской в течение всего времени дви­ жения. Плоскость орбиты проходит через центр небесного те­ ла и остается неподвижной в пространстве. Таким образом, ес­ ли представить, что гравитационное поле Земли является цент­ ральным, то космический аппарат, выведенный на орбиту ее спутника, все время будет двигаться по одной и той же орбите, не изменяющей своей ориентации относительно звезд. Отсюда становится ясным смысл введения элементов орбиты — дол­ готы узла S3 и наклонения г, поскольку они всегда остаются постоянными и характеризуют положение плоскости орбиты в пространстве (рис. 17).

Несмотря на общность законов, движение по каждой из орбит — круговой, эллиптической, параболической или гипер­ болической — имеет внешнее отличие, так же как и сами ор­ биты имеют различную форму.

К р у г о в а я о р б и т а — наиболее простая из всех видоз орбит. Центр ее совпадает с центром небесного тела. Нарисо­ вать ее можно с помощью циркуля. Чтобы задать орбиту, до­ статочно указать ее радиус. Как будет показано ниже, радиус орбиты однозначно определит скорость движения по орбите и период обращения. Положение орбиты в пространстве задает­ ся двумя углами — долготой узла Q и наклонением г. Чтобы определить положение космического аппарата на орбите, не­ обходимо указать величину угла и между линией восходящего узла и радиусом-вектором космического аппарата (рис. 17). Так задаются все элементы орбиты, причем существенно заме­ тить, что все они, за исключением величины и, остаются по­ стоянными. В этом, между прочим, состоит удобство задания начальных условий движения в виде элементов орбиты, а не в прямоугольных координатах. Прогноз движения по круговой орбите находится чрезвычайно просто: изменяя единственную величину — аргумент широты, получим последовательные ме­ стоположения космического аппарата, которые спустя виток будут повторяться. Круговое движение наиболее просто ил­ люстрирует второй закон Кеплера: радиус-вектор космическо­ го аппарата ввиду постоянной скорости его движения по орби-