Файл: Романков, П. Г. Гидромеханические процессы химической технологии.pdf

4я (D2 -

d2) ■D -d

странства.

метра кольцевого про­

4я (D +

d)

течение несжимаемой жидкости в щели (канале)

между

двумя

плоскими параллельными стенками.

горизонтально,

шириною

2уо,

Рассмотрим канал,

расположенный

неограниченно

простирающийся

в

направлении

оси

z

(рис. 3-20). Движение

потока

направлено по оси

х, причем рас­

сматриваемый участок расположен

достаточно далеко от входа и выхо­

да канала.

Для одномерного потока wy и

wz равны нулю и уравнение нераз­

рывности можно записать следую­

щим образом:

dwx

0

(3-61)

дх

=

Уравнение Навье-

Стокса (3-22)

примет вид:

Рис.

3-20. Течение в узком канале.

dp

Päx

+ И

d2wx

d2wx

(3-62)

дх =

ду2 +

dz2

Так как канал расположен горизонтально, то

массовая

сила

РІД = 0;

кроме того,

поскольку wx не зависит от z

(канал

неогра­

ниченно

простирается

в направлении

оси

г),

то

d2wJdz2 — 0

и

3‘

67

dp

d2wx

(3-63)

дх

= Р

ду2

Ширина канала мала по сравнению с его протяженностью, по­

этому в соответствии с

уравнениями

(3-23)

и

(3-24)

вр/ду — О

и dpjdz = 0, откуда

следует,

что др/дх =

dp/dx.

Так

как

wx и

â2w j â y 2 не зависят

от х,

то значение

градиента

скоростного

дав­

ления dp/dx во всех точках канала бу­

дет постоянным. Следовательно, можно

записать

dp

d2wX

const

(3-64)

— = Р

ду2

dx

r

После интегрирования получим:

'2уо

dp

dwx

+ C,

(3-65)

p

dx

у

ду

Константа

интегрирования

Ct = 0,

так

как

dw/dy — 0 при

у — 0.

В

результате

второго интегрирования запишем:

w = 2р

dp

( 2

(3-66)

Рис. 3-21. Движение потока

dx

{у2 — Уо) +

С2

в

вертикально

направлен­

При

у = уо скорость

до — 0 и константа

ном канале.

'

Поскольку

у2 <

у\,

интегрирования С2 =

0.

представляют

уравнение

(3-66)

обычно

в виде:

(3-67)

При у = 0 скорость W =

г а м а к е ,отсюда

У

(3-68)

W= Wмакс 1— -Д-

Уо

ИЛИ

1-

(3-69)

dp

Уо

Wz — dz

2p,

Уо /

или

Po -

P P o

2p

dp

d2w

dw

или

dx

dr2 + 7

dr

dp

l . j L i r

dP \ —

=

const

(3-70)

dr

\

dr

Iх

dx

Распределение скоростей и сил внутрен­

него трения в кольцевом сечении можно

определить

интегрированием

уравнения

(3-70) или с помощью балансового уравне­

ния количества движения:

(2nrLx)r — (2ялДт)г+Дг + (2яг Дгрс 2)г=0-

— (2пг Длр®2)г= і — 2nr ArLpg +

Рис. 3-22. Движение жид­

+

2яг Ar (р0 — pL) = 0

(3-71)

кости в кольцевом зазоре

Для несжимаемой жидкости ее скорость

между двумя концентри­

ческими трубами.

wz при z =

0

и

при

z =

L

одинакова,

lim

Ar

L

(3-72)

Ar-*0

Так как левая часть уравнения (3-72)

представляет собой пер­

вую производную, запишем:

Pq- P l

(3-73)

dr (Г Т )

Po Pl . ,

<ъ.7л\

Расстояние

от

оси,

на

котором

скорость

потока

будет

макси-

мальна

г — bR,

тогда

при

т = 0 константа

(Р0 ~

PL) (b R f

С( = ----------- 2^-------

и уравнение (3-74)

примет вид:

'

- itS

LP d R { LR

- V' T )

(3'75>

„

— р.

d wr

, то для распределения скорости урав­

Поскольку т =

нение

можно

представить

как

dwz

(Po - P l) R 1 г

< 4

(3-76)

dr

2\xL

R

После интегрирования имеем:

г \2

г

(Рр -

Pl) r2

(3-77)

-ж)

+

4pL

w

Для определения константы интегриро­

вания С 2 учтем граничные условия:

X

w, =

0

при

г — aR

(3-78)

wz — 0

при

г — R

Тогда получим два уравнения:

( p - p ) R Z

0 —

---

(Pp

~ P l) R2

~~

4pL

---- - W \ n a + C2) j

4pL

}

(3-79)

О= — (Pp - P l) R2

(1 + C 2)

Рис. 3-23. Распределе­

4pL

откуда

ние скоростей и напри-

жений

при

течении

62= -

и

C, — — 1

в кольцевом

зазоре.

2 In ■

Окончательно профиль скоростей при ламинарном движении

потока в кольцевом зазоре:

Wz

( P o ~ P i ) R 2 r

'

г ' 2

1

ал

г

(3-80)

4pL

- т ) ’ + ln — 1п т

а

Профиль

напряжений

будет

описываться

уравнением:

т _ АР П ( г

I -

a2

R

(3-81)

\

а

Графически уравнения (3-80)

и

(3-81)

представлены

на

рис. 3-23.

0 уравнение

(3-80)

превращается

В предельном случае при а =

в уравнение

для

цилиндрической

трубы.

Средняя

скорость

жид-

I

1

^'

dr dQ

ApR2

aR

уср О

2л

R

8р. L

ln ■

(3-82)

г dr dQ

V сек = ^ с р / == шсря/?2 (1 — а2)

(1 - а1) ■ (1 - а2)2

(3-83)

установил, что движение пленки конденса­

та по вертикальной стенке характеризуется

ламинарным режимом, и показал, что мак­

симальная скорость потока наблюдается на

поверхности пленки, а средняя скорость в

1,5 раза меньше максимальной.

Для определения средней толщины плен­

ки Нуссельт

применил

уравнение Навье —

Стокса в условиях установившегося

одно­

мерного потока. Этот вывод является клас­

сическим.

движение

изотермического

Рассмотрим

потока вязкой жидкости по вертикальной

или наклонной стенке под действием силы

тяжести в отсутствие волнообразования на

поверхности жидкости.

Жидкость, стекающая ламинарно по пло­

ской стенке

(рис. 3-24),

будет находиться в

ж и д к о с т и

по

п л о ск о й

с т е н к е п о д

д е й с т в и е м

равновесии

под

действием

сил

тяжести

и

си лы

т я ж е с т и .

внутреннего трения.

Для одномерного движения пленки вдоль оси х уравнение

Навье — Стокса можно записать в виде:

РgX

др_ ,

d2wx

dwx

+ wx

dwx

+

dwx

(3-84)

дх т ^

ду2

дх

дх

~ d f

Уравнение неразрывности:

dwx

dwy

(3-85)

~дх