ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 103
Скачиваний: 0
§ 1.8. Понятие о потенциальном движении жидкости. Потенциал скорости
При обтекании тел потоком жидкости вращательное
движение наблюдаеіся в местах резких изменений скорости. Для тонких удобообтекаемых тел, которые являются важней шими для авиационной и ракетной техники такими местами
являются: пограничный слой, скачки уплотнения, спутная струя
за телом. В остальной ч-сти потока вращения не наблюдается, поэтому случай, когда отсутствует вихревое движение, имеет важное практическое значение. Рассмотрим такое движение более подробно. При гтсутствии вращения угловая скорость
GÜ = 0 |
и |
|
= ООу - U> £ = 0. |
На |
основании |
соотношения |
||
( I . I 4 ) |
можно |
записать, что в этом случае |
|
|
||||
~èT |
~ |
à*> |
a i 'Эх |
> |
ег |
' |
ci.15) |
|
Соотношения (I . 15 ) позволяют значительно упростить вычисле
ние |
, Ѵу |
И |
V i |
как функции |
координат потока, |
||
заменив |
эти три неизвестные одной. |
|
|
||||
Предположим, |
что |
сущестъует |
функция |
Ifj^yг ^( зависящая |
|||
только |
от координат пространства, |
полный дифференциал кото |
|||||
рой |
|
|
|
|
|
|
|
dif = Ѵхр(х + Yydy + Vîûfi . |
( І Л 6 ) |
||||||
Если составить |
для |
c i |
if выражение в частных |
производных |
|||
ä i t - ^ d x |
* ^ d y * ^ d % |
|
( І Л Ѵ ) |
||||
и учесть, .что в соотношениях (І4 Іб)^Е.І7) d"X , d У и d"h 33
суть произвольные приращения координат, получим
Из математики известно, |
что необходимым и достаточным |
|||
условием |
существования |
функции |
является |
равенство |
частных |
производных, определяемых |
соотношениями |
( І . І 5 ) . |
|
Эти соотношения справедливы для безвихревого движения.
Таким образом, если движение жидкости происходит без враще
ния частиц вокруг своей оси, то выражение |
( І . І 6 ) |
является |
||||
полным дифференциалом |
некоторой функции координат Ц(х,ЧлУ |
|||||
Эта функция называется, потенциалом скорости. |
|
|
||||
Всякому движению жидкости, |
происходящему без вращения |
|||||
частиц, соответствует |
свой потенциал |
tf |
и наоборот, |
если |
||
существует потенциал |
скорости ^ |
, |
то движение |
происходит |
||
без вращения частиц, поэтому такое движение называется |
||||||
потенциальным. Для потенциального |
движения проекция |
скорости |
||||
на любое направление равна частной производной от потенциала
скорости на это направление, то есть
|
|
|
|
V« = U |
• |
|
|
|
С введением функции |
If |
упрощаются многие |
расчеты |
в |
аэро |
|||
динамике, |
так как вместо |
Ѵос , Ѵц, |
Ѵг. |
необходимо |
звать |
|||
выражение |
для |
Lf |
. Например, |
уравнение |
неразрывности |
|||
для несжимаемой жидкости вместо соотношения |
( І . І І б ) |
принима |
||||||
ет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.19) |
|
39
Соотношение (I . 19) |
известно в математике как |
уравнение |
Лапласа. Оно хорошо |
изучено и имеет решения при определенных |
|
граничных условиях. Поверхности или линии, на |
которых |
|
If = COMSi; называются эквипотенциальными. |
|
|
§1.9. Простейшие потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости
Найдем выражения для потенциала скорости в случае
простейши" плоских потенциальных течений. В этом случае выра
жение |
для |
|
If |
должно удовлетворять уравнению Лапласа в |
||||||||||
виде |
( І . І 9 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Равномерный прямолинейный |
поток |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рассмотрим |
течение жидкости |
с |
постоянной |
скоростью V |
|||||||||
( р и с . 1 . 1 5 ) . |
Расположим |
ось |
ОХ |
по направление ве: тора |
||||||||||
скорости, а |
ось |
О У |
- перпендикулярно |
V |
|
|
|
|
||||||
' В этом случае |
vi |
_ ètf |
_ А . |
», |
_ ^ ( f _ n - |
ч |
|
|
|
|||||
|
|
|
V y - j i j r - ü , |
|
|
|
- O ; / х |
|
|
- Ѵ . |
||||
Так' как потенциал |
скорости зависит |
только |
от одной |
переменной |
||||||||||
ОС , |
можно |
записать: |
|
V z - a Y |
|
|
|
- э о Г |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= SxäX |
» УСІХ , |
откуда |
if |
= ѴСС + С . |
|
||||||||
Произвольную постоянную С, которая получается при интегрирова
нии, обычно не определяют, |
так как функция |
<f |
нас |
|
интересует своими производными, на величину |
которых постоянная |
|||
С не. влияет. Поэтому |
выражение для Ц |
можно |
записать так: |
|
. |
і/ = |
Ѵсс. |
|
(1.20) . |
Это выражение удовлетворяет и уравнению Лапласа.
ад
б) Вихрь на плоскости
Рассмотрим установившееся движение жидкости по кон
центрическим окружностям (без вращения частиц вокруг своей
оси) вокруг бесконечно длинной прямоугольной оси |
( р и с . I . 1 6 ) . |
Такое движение называется вихрем. Распределение |
скорости в |
плоском вихре подчиняется закону |
— j - |
||||
|
Г |
|
|
|
V a i ï î ' |
где |
- |
циркуляция |
скорости, характеризующая |
||
|
интенсивность |
вихря; |
|||
|
Т |
- |
расстояние |
от |
оси вихря. |
Вектор скорости направлен в данном случае перпендику лярно к радиус - вектору точки:
Так как |
è l |
" |
»t |
- u |
, |
потенциал |
скорости не |
зависит |
от |
|||||
радиус - |
вектора, |
a |
|
d ц - |
V s d S |
= gjft dS . |
|
|
||||||
Подставляя |
вместо |
(tS |
|
= |
id |
Q |
% интегрируя, получим; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
SX v |
, |
|
|
|
" - Z D |
||
где |
|
Ѳ |
- |
полярный угол |
точки, находящейся |
в |
|
|||||||
|
|
|
|
поле |
вихря. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Поверхности |
равного |
потенциала |
будут при |
Ѳ |
= |
c o n s t , |
||||||||
то есть |
они |
проходят |
через |
ось |
вихря |
и радиус |
- |
вектор |
точки, |
|||||
в) Источник (или сток) на плоскости |
|
|
|
|
|
|||||||||
Источником называется некоторая |
точка ( о с ь ) , |
из |
кото |
|||||||||||
рой непрерывно |
вытекает |
жидкость, |
растекаясь |
от |
точки |
0 по |
||||||||
радиусам |
с |
переменной |
скоростью |
V i |
(рис. |
І . І 7 ) . |
В |
проти |
||||||
воположном |
случае, |
когда жидкость |
течет по радиусам |
к |
точке О, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kl |