ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
|
|
|
непрерывкой, |
дифференцируемой. Тогда, |
расклады |
|||
вая функцию |
р (Х,У, ъі tQ |
+ dt |
) в ряд Тэйлора |
и ограничи |
||||
ваясь двумя |
членами ряда, полу^ш J> (be,У.Z.,i0 |
>dt)=ß(x.Utu)*%[dl |
||||||
Следовательно, масса сре;м в рассматриваемом объеме в момент |
||||||||
времени |
t 0 |
|
+-dt |
будет |
равна |
|
|
|
miu |
+ |
|
ut)z[}(x.i}xU)i-&ldt]dzdtidi |
|
||||
Таким образом, за время |
d t |
произошло изменение |
массы |
|||||
жидкости в |
объеме |
dxdydl |
на величину |
|
|
|||
a m |
~ |
m |
|
|
|
|
|
|
На основании закона сохранения маирии изменение массы жидкости может произойти за счет разности притока и расхода
жидкости |
через |
грани |
выделенного |
параллелепипеда. |
Рассмот |
|||||||
рим движение жидкости в направлении |
осп О Х |
. З а |
время |
|||||||||
Ct t |
через |
левую грань, |
имеющую координату |
X |
, |
г |
||||||
выделенный |
объем пространства |
втекает |
масса жидкости |
|
||||||||
( fi^TÙx dydï |
|
, где функция (ß4x)x |
|
имеет |
сред-іее |
зна |
||||||
чение для левой |
гра:и за время |
d t . |
За это же время |
через |
||||||||
правую грань, с |
координатой |
ОС + dx |
, |
вытекает масса |
жидкос |
|||||||
ти (>PVx)x+dx |
dydidt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Раскладывая функцию |
Vx)a+dxв |
РВД Тэйлора |
аналогично |
|||||||||
функции |
ß |
(х, Уд , і 0 +dtj . запишем |
|
|
|
|
||||||
Разность втекающей и вытекающей масс в направлении оси О Х
равна dm* =-è№jàdxdvdzdt .
Если рассматривать движение жидкости в направлении осей
O y |
к |
O j |
, |
аналогично |
можно |
получить: |
|
|
|||||
dm, |
- ^ |
d |
x |
d |
y d i |
d t |
, |
d m г - â ^ l |
d x d y |
d i d t, |
|||
•4 |
общий |
расход |
массы |
|
|
|
|
|
|
|
|||
d m = d r n x + d m l J + d m ? = - |
a |
|
ay |
e i |
d x d y d i d t . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|||
|
|
Приравнивая полученное |
соотношение |
и соотношение ( CL ) |
|||||||||
и сокращая при этом на |
|
|
|
, |
получим |
уравнение |
|||||||
неразрывности |
в |
общем |
виде: |
|
|
|
|
|
|||||
_ а Р |
|
|
|
|
|
|
|
ы |
= |
0 . |
(I . 10) |
||
|
a t |
|
ô ï |
|
a y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из |
векторного |
анализа |
известно, |
|
что |
|
|
||||||
Эзс |
|
ay |
|
è i |
|
|
|
|
|
v _ o |
v |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Первый член соотношения(і.ІО)представляет собой скорость изменения кассовой плотности за счет нестационарного движе ния, второй - удельный массовый расход жидкости через поверх ность выделенного объема. Уравнению (І . ІО) можно придать
другой вид, если |
продифференцировать функции Р Ѵ*, рѴ д,Р Ѵ і |
|||
как произведение |
двух неизвестных величин, |
то есть: |
||
a (Pfa) - ар |
+ û a v r . |
аі^Ь)-Л^м |
, о avw • |
|
a t P V i ) - U ? v , + P - â V i |
|
|
||
Учитывая также, |
что |
|
_ di |
|
|
|
V, |
|
|
получим |
|
|
|
|
at ^Dcdt + ay dt diût |
~"ß^x |
+ эу~ + |
а £ 1 |
|
ИЛЕ |
|
|
|
|
4 f |
d . v T |
|
|
( L I T ) |
Левая часть уравнения ( І . І І ) представляет собой относитель
ную скорость изменения плотности жидкости в рассматриваемой точке, правая - удельный объемный расход жидкости через поверхность, охватывающую эту точку.
2.Частные случаи уравнения неразрывности
а) Для установившегося движения
ЭР ~
В этом случае ности принимает вид:
r и , поэтому уравнение неразрыв
б) Для несжимаемой жидкости
так как J > . « o n s t . « f f - | £ ' # - J f - 0 ,
а уравнение неразрывности запишется так:
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости можно сформулировать так: удельный объемный расход жидкости через поверхность выделенного объема равен нулю или любая выделенная частица жидкости не изменяет своего объема во время движения.
3 . Уравнение расхода для установившегося движения жидкости
Применим закон сохранения материи к струйке жидкости.
29
Возьмем элементарную струйку в установившемся потоке
жидкости и выделим в ней два сечения: І - І и 2-2, перпендику
лярные векторам скорости. Обозначим Ft и Vs. площади по перечных сечений. Ввиду малости сечений можно положить
плотности и скорости в каждом сечении постоянными и равными
их средним значениям ( р и с . I . I I ) .
Так как жидкость не втекает и не вытекает через боковую
поверхность, а движение установившееся, то масса жидкости, находящаяся между сечениями І - І и 2-2 со временем не изменя
ется . |
Следовательно, |
масса |
жидкости, втекающая |
через сечение |
||
І - І в |
единицу |
врецени, должна быть |
равна массе жидкости, выте |
|||
кающей через |
сечение |
2-2: |
|
|
|
|
|
Л V, F , |
|
V a F â |
= c o n s f . |
|
|
Это уравнение можно сформулировать так: при установив шемся тг ченти ."адкоста м&лсовый секундный расход через любое
сечение струйки есть |
величина постоянная. Уравнение ( I . I 2 ) |
|||||||
называется |
уравнением постоянства расхода. |
|
|
|||||
|
Если |
жидкость |
ьесгтамаемая, |
то плоіность не изменяется, |
||||
то есть |
= р£ |
-JS и уравнение* |
постоянства |
рас |
||||
хода |
принимает вид: |
|
|
|
|
|
||
|
|
V, F« |
' |
Va Г л s |
C o n s t |
(1 . 12а) |
||
или |
при установившемся |
движении |
несжимаемой жидкости |
объем |
||||
ный секундный расход жидкости через любое |
сечение струйки |
|||||||
есть |
величина постоянная. |
|
|
|
||||
Уравнение |
( І . І 2 а ) |
можно |
представить в таком виде: |
|
||||
|
|
V i - |
s |
|
|
(1.126) |
||
30
На оснозашш соотношения(l.I2öJможно заключить, что скорость течения несжимаемой жидкости обратно пропорциональна площади поперечного сечения струйки, схедовательно, с уменьшением поперечного сечения стру£.си скорость увеличивается и наоборот, при расширении струйки скорость уменьшается.
§ 1.6. Уравнения движения в Фодае Эйлера
Уравнения получены в 1755 г . членом Российской Акаде мии наук, петербургским ученым Л.Эйлером на основании 2 з а кона механики, который гласит, что инерционные силы, дей ствующие на тело, равны сумме поверхностных сил, то есть
£ F пев = т Ш"
Ур&лнения справедливы для изэнтропического течения идеальной жидкости. Для зывода уравнений введем в потоке движущейся
жидкости |
прямоугольную систе..;у координат OLOtjZ |
( р и с . 1 . 1 |
2 ) . |
||||
В некоторый |
момент |
времени |
£> |
выделим в |
потоке |
|
|
частицу |
ллдкости в |
Еиде бесконечно малого параллелепипеда |
|
||||
dzciydè |
|
с гранями, параллельными |
координатным плоскостям. |
||||
При принятых выше допущениях (нет теплообмена и отсутствуют силы внутреннего трения) на частицу жидкости действуют сила:
а) поверхностные:
-силы давления;
-массовые - силы веса.
б) инерционные. |
|
|
|
Пусть |
Р |
- средняя массовая |
плотность жидкости |
выделенной |
частицы", |
тогда |
- масса этой час |
тицы. Составам уравнения равновесия сил, действующих на выде31