ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
ленную |
частицу в проекциях на координатные оси. |
Рассмотрим |
|||||
силы, |
действующе |
в |
направлении оси |
О Х . |
|
|
|
а) Поверхностные |
силы. |
|
|
|
|||
|
Пусть |
Р (х, |
У, Z , i e J - среднее |
значение |
давления |
||
левой |
грани, |
а р (х+с/лгдг^)-среднее |
давление правой |
грани. |
|||
Тогда |
сила давления, |
действующая в направлении |
оси |
О Х , |
|||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
Давление |
D |
в общем случае зависит от четырех параметров: |
||||||||
X , У, 1,"fc- |
|
При |
тереходе |
от |
левой |
грани к правой изме |
||||
нился лишь аргумент |
X |
на |
величину |
dot |
. Будем полагать |
|||||
функцию |
Р |
непрерывной |
и дифференцируемой. Раскладывая |
|||||||
функцию |
р |
(х+ |
0.x, |
У, ï, |
t o ) |
в ряд Тэйлора |
||||
и ограничиваясь |
двумя |
первыми членами |
ряда, получим: |
|||||||
Эх
При определении массовых сил будем учитывать только силу
веса, которая, как известно, равна Q = Ш^- и направлена
к центру Земли. В общем случае ускорение земного тяготения может не совпадать по направлению ни с одной из осей введен
ной нами системы |
координат. |
|
|
|
Обозначим проекции ускорения |
9 |
н а °°ш введенной |
||
системы координат |
ЭС.У.І |
соответственно |
9 * / ^ У < < ? г |
|
Тогда массовая сила, действующая на частицу жидкости в |
||||
направлении оси |
ÛLX будет |
равна |
|
|
32 |
|
|
|
|
Р х м = |
m £ |
* |
-JxLxcLycL-L |
|
б) Инерционные |
силы. |
|
|
|
Так как масса |
частицы |
равна Pdxdydï. |
, то |
|
Уравнение равновесия сил в направлении оси О Х будет иметь вид:
Сокращая все члены полученного соотнршения на |
pdxdijdi., |
|
получим уравнение Эйлера |
для единичной массы в |
направлении |
оси О Х : |
|
|
" 7 * |
Р ах |
|
Выясним физический смысл всех членов полученного уравнения. Величина "apf ~ ускорение частицы в кчправления оси ОХ;
Çx |
- |
ускорение, |
вызванное массовыми силами; |
|
^5 |
- ускорение, вызванное силами давления. |
|
||
Составляя |
аналогичные уравнения в направлении осей |
ОУ и 02. |
||
получим ещё 2 |
уравнения: |
|
||
• a t |
9 |
* j y - » |
^ |
|
Таким образом,составляющие полного ускорения частицы |
||||
жидкости |
вдоль координатных осей складываются из |
ускорения , |
||
За.:. 17"-,. |
|
'3- |
||
от массовых сил и ускорения от сил давления. Уравнения являются основными дифференциальными уравнениями движения идеальной жидкости. Они справедливы .для снимаемой и несжи маемой жидкости. Различие будет лишь в характере изменения плотности: для несжимаемой жидкости fi = СОП&і: , для сжимаемой плотность является переменной величиной.
Левые части уравнений Эйлера можно представить в разверну том виде, если'учесть, что
где |
I = X , У, 2.. |
В этом |
случае уравнения Эйлера принимают вид: |
è t v x à x V y a y Y * a z . p aor >
èt + v * a x + v W + v |
* à T |
^ э у ' |
|||
еѴг^и |
<*li+v |
&k |
- |
о - i - ^ |
|
Т ѣ + Y *àx |
ѵ У Э у t V |
i J t |
- Я г |
p a i - |
|
( І Л З а )
Для установившегося движения |
ЛѴ* _ ЭѴу _ Э Ѵ н = 0 |
|
' ^ f |
~ c5t ~ и |
|
уравнения Эйлера упрощаются: |
|
, ft |
Уравнениг Эйлера не учитывают вязкость среды. С учетом
вязкости эти уравнения,известные как уравнения Навье-Стокса,
имеют вид: 3<+
д t *^dX + Ѵ У д У + W |
РдХ V№2 |
д-^Загі |
( І . І З в )
ô t |
Чгдх |
Щ |
^ді |
J d i + |
V l d a : 2 t d y 2 d ï 5 |
з а і і |
где |
ѳ |
= |
a y |
' d i |
|
|
|
|
a x |
|
|
||
|
|
§ |
1.7. |
Вращательное |
движение |
|
|
|
|
|
жидкости |
|
|
|
Как известно, произвольное |
движение твердого |
тела |
|||
можно разложить яа два вида: поступательное движение центра
масс и вращательное движение вокруг |
центра |
масс. Движение |
||
жидкой чаотшн |
оказывается |
сложнее. |
При перемещении она |
|
может изменять |
свою форму, |
объем, то |
есть |
деформироваться. |
Поэтому общее движение жидкой частицы состоит из трех видов:
поступательного, вращательного и деформационного. Также, как
и для |
твердого |
тела |
пар |
метры |
|
1 |
•> Ѣdt |
||||
% Vu. Vç. in |
dVs. |
||||||||||
характеризуют поступательное движение. Выяснил,dt |
какие пара |
||||||||||
метра описывают деформационное, и вращательное движения |
|||||||||||
жидкости. Возь..ем частицу жидкости |
в |
виде |
параллелепипеда |
||||||||
с ребрами |
,с{у, |
|
|
. |
Рассмотрим |
движение |
одного из |
||||
ребер |
(например, ребра |
А 0 , A i ) |
(рис. |
І . І З ) . |
|
|
|||||
Пусть |
составляющими |
скорости |
в |
точке |
Ао |
буду? |
Vac,Ѵу, . |
||||
Тогда |
составляющие |
скорости |
в |
точке |
|
А< будут, равны: |
|||||
35
Если |
бы в |
точке |
Д 4 |
приращения скоростей |
не было, |
ребро |
|||
Д й |
Д |
двигалось |
бы |
поступательно. Изменение |
скорости |
||||
в направлении оси |
ОХ |
, то |
есть параметр |
- ^ д . - Q X |
вызовет |
||||
изменение |
длины отрезка |
d x |
(ребра Ао |
Ai), |
или его |
||||
деформацию (растяжение или сжатие). Частная производная
будет характеризовать удельную линейную деформацию,
О X
то есть деформацию отрезка единичной длины. Изменения ско
рости в |
точке |
А в |
направлении |
других осей |
А — d X |
и |
|||
у а / |
|
|
|
|
|
|
|
о ос |
|
^ Д ^ - |
d l |
вызовут |
поворот |
отрезка |
А 0 |
А^соответственяо |
|||
вокруг осей |
ОН. |
и |
О У , а |
частные |
производные |
|
|||
и |
|
|
• будут характеризовать угловую скорость |
||||||
поворота |
вокруг |
этих |
осей. Если рассматривать ребра |
А0А_2И |
|||||
А 0 А3 , можно установить, что частные производные |
и | ^ |
||||||||
характеризуют удельную линейную деформации этих ребер, а |
|||||||||
•^•~» ; |
|
; |
-g-j— ; |
-^— |
- угловую скорость ращения. |
||||
Таким образом, производные от составляющих скорости по одно
именным координатам ' ffi" ' i f характеризуют
удельную линейную деформацию жидкой частицы или деформацион
ное |
движение, а частные производные от составляющих скорости |
|||||
по |
разноименным ксординатам |
- g - ^ ; ^^-/ |
-g^-; |
-^j-',^^)^ |
||
- угловую скорость вращения |
или вращательное |
движение части |
||||
цы. Вращательное движение жидкости в аэродинамике |
называется |
|||||
вихревым. Угловая скорость вихревого движения обозначается CÜ . |
||||||
Как и любой вектор его можно разложить на составляющие по |
||||||
осям прямоугольной системы |
координат: |
UOx, |
l ü y , |
COj.Путем |
||
простейших геометрических построений и вычислений можно |
||||||
получить, что |
|
|
|
|
|
|
i n |
- i / î W i â & V и ) - i |
fé&-*&V |
U) |
Л |
/ ^ - < Ш 1 |
|
ш * " a l a y " 5 ? h ^ « - ^ 1 3 ? д д г > ш і а ^ х |
a y j i . 1 4 ) |
|||||
36 |
|
|
|
|
|
|
Вихревое движение жидкости широко |
представлено |
в |
природе |
и используется в технике. Теория |
вихрей играет |
значительную |
|
роль в аэродинамике: она положена |
в основу теории |
крыла при |
|
дозвуковых скоростях полета. Для количественной оценки вих ревого движения вводится понятие циркуляции скорости. Для выяснения этого понятия возьмем в потоке движущейся жидкое -
ти замкнутый |
контур |
L |
(рис. I . 1 4 ) . Пусть в |
некоторой |
||
точке |
M этого |
контура |
вектор |
скорости равен V |
. Выде |
|
лим в |
окрестности точки ш вектор |
элемента контура |
dt |
|||
и составим скалярное |
произведение |
Vdl =с(.Г - Vcosddf =\/idl> |
||||
Это скалярное произведение называется элементарной циркуля
цией |
скорости, |
а интеграл ф^^І - <p\}odt = [~> |
|
вычисленный |
для |
одного и того же момента времени по всему |
|
контуру L |
, |
называется циркуляцией скорости по конту- |
|
РУ |
L |
|
|
При вычислении циркуляции Г обязательно задается направление обхода контура ъ процессе интегрирования. Выра жению для Г можно придать другой вид. Из век торного анализа известно, что скалярное произведение двух век торов равно
поэтому |
Г = |
$Vdl = Ф vx doc + VydU + V;>cU |
|
||||||
Физического |
смысла |
циркуляция |
скорости не имеет. Условно |
||||||
можно |
сказать, |
что |
циркуляция |
есть |
"работа" |
скорости на |
пути |
||
L |
• |
Однако |
она |
является важной |
величиной |
в аэродинамике. |
|||
По значению |
|
Г |
вычисляется |
подъемная сила |
крыла при |
дозву |
|||
ковых |
скоростях полета. |
|
|
|
|
||||