Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf

Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. призмы. На рисунке 16 изображена четырехугольная призма

ABCDAiBiCiDi и ее высота ШАЛ.

О п р е д е л е н и е 2. Прямой призмой называется призма,

боковые ребра которой перпендикулярны к плоскости основания

(рис. 17).

I

I

I

I

О)

б)

Рис. 18

18

Из этого определения следует:

1)боковые грани прямой призмы — прямоугольники;

2)боковое ребро прямой призмы является ее высотой.

Призма, боковые ребра которой не перпендикулярны к плос­ кости основания, называется наклонной . призмой. Если призма прямая и в основании ее лежит правильный многоугольник, то она называется правильной призмой. На рисунке 18 изображена правильная шестиугольная призма и ее развертка.

§ 9. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРИЗМЫ

Изображение призмы можно получить следующим образом: 1) изобразить одно из оснований призмы; 2) изобразить боковые ребра в виде параллельных и конгруэнтных отрезков; 3) соединить последовательно свободные концы этих отрезков.

Рассмотрим примеры изображения призм в кабинетной проекции1. На рисун­

основанием которой служит ромб (рис. 20), предварительно вычерчиваем без искажения основание ABCD призмы (оригинал) и проводим [DE] ±[АВ]. Затем изображаем [АВ] вместе с точкой Е без искажения и строим отрезок ED под углом 45° к [АВ], причем | ED | уменьшаем вдвое по сравне­

нию с оригиналом. Получив изображение точки D, строим,, параллелограмм ABCD ,

изображающий данный ромб. Остальные построения очевидны.

Изображение правильной шестиуголь­ ной призмы (рис. 18) также выполнено в кабинетной проекции.

З а д а ч и

19

боковых ребер призмы.

66. Даны треугольная призма и точки М и N на ее боковых гранях. Построить точку пересе­ чения (MN) с плоскостью нижнего основания призмы.

67°. 1) В прямой треугольной призме (рис. 21) указать линей­ ные углы двугранных углов при боковых ребрах.

2) Чему равна сумма всех двугранных углов: а) прямой треуголь­ ной призмы; б) прямой n-угольной призмы?

68°. Является ли призма правильной, если в основании ее ле­ жит правильный многоугольник?

69. Доказать, что число ребер призмы кратно трем.

70°. Две боковые грани призмы перпендикулярны к плоскости основания. Будет ли призма прямой, если в основании ее лежит: 1) треугольник; 2) трапеция; 3) правильный пятиугольник; 4) пра­ вильный шестиугольник?

71. 1) В правильной четырехугольной призме диагональ равна 25 см, а диагональ боковой грани 20 см. Найти высоту призмы.

2) Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ боковой грани Ь. Найти диагональ призмы.

72. Найти диагонали прямой призмы, в основании которой лежит ромб со стороной а и острым углом <р (рис. 20), а большая диагональ этой призмы наклонена к плоскости основания под уг­ лом (3. Вычислить при а = 2,5 см, <р = 60°, (3 = 22°.

73.Все ребра правильной шестиугольной призмы равны а. Найти

еедиагонали.

74.Изготовить развертку правильной треугольной призмы,

сторона основания которой равна 2 см, а высота равна 3 см.

20

Рис. 23

Пересечем призму плоскостью а, перпендикулярной к ее боко­ вому ребру (рис. 23). Если эта плоскость пересечет все боковые ребра призмы (рис. 23, а), то полученный многоугольник A2B2C2D2E2 называется перпендикулярным сечением призмы. На рисунке 23, б) изображена призма, для которой такой многоугольник построить невозможно. Тогда за перпендикулярное сечение призмы принимают

сечения. Найдем вершину сечения, лежащую на четвертом ребре [DDJ (или на его продолжении). Для этого построим диагональные

21

Е,

Рис. 26

сечения призмы AAfi^C и BBJDJD и соединим точки М и Р. Линия (EEi) пересечения диагональных плоскостей пересечет [М Р] в точке F, которая будет принадлежать искомому сечению. Продол­ жив [АЛ/7] до пересечения с (.DD4), получим точку Q. MNPQ — иско­ мое сечение. Если точка Q окажется на продолжении ребра DDit то сечение — пятиугольник (рис. 25).

З а д а ч а 2. Построить сечение пятиугольной призмы (рис. 26) плос­ костью а, проходящей через точки М, N и Р, которые соответственно при­ надлежат граням BCCiBi, CDD1 C1 и DEEiDi, причем ( РМ) и ( PN) не па­ раллельны плоскости основания призмы.

Р е ш е н и е . Построим линию пересечения (KL) плоскости а с плос­ костью АВС. Эта прямая проходит через точки К и L пересечения прямых РМ и PN с их проекциями (по направлению AiA) (PiM') и (PiN') на пло­ скость АВС. Затем строим (CD) П (KL) — Xi; соединив N с Xi, находим [C2D2] = CDD1 C1 П а. Дальнейшие построения рассмотрите самостоятель­ но (рис. 26). A2B2C2D2E2— искомое сечение.

За д а ч и

75.Дана наклонная четырехугольная призма ABCDAiBfiJD^

Доказать, что сумма мер двугранных углов А А и ВВи ССЬ DDl равна 360°.

76.1) Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпен­ дикулярны. Доказать, что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей боковой грани призмы.

2)Справедливо ли обратное предложение?

77.Найти отношение площади диагонального сечения правиль­ ной четырехугольной призмы к площади ее боковой грани.

22