Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf

Скачать файл (10,08Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 42

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

			З а д а ч и
2 6 . 'Даны		точки Л (3,	2,	5),	В (—1 , - 2 ,	2),	С (7, 0,	—9),
D	, 6^ . Указать,		какие	из	них принадлежат плоскости
2х — 3у + г — 5 = 0.					зная, что	точка	N (3,	6, 2)
27.	Найти	уравнение плоскости,

служит основанием перпендикуляра, опущенного pis начала коор

динат на эту плоскость.
28.	Вычислить расстояние от начала координат до плоскости:
1) 2х — 2у + z — 6 = 0; 2) 2х + Зу — 6z + 14 = 0.				плоскостей
29.	Построить линии пересечения координатных
с плоскостью:		1) 2х + Ъу — 2 — 6 = 0; 2) Зх— 4у + 2z — 12 = 0.
30.	Какие	коэффициенты в уравнении	плоскости	ах + by +
+ cz +	d = 0	равны нулю, если известно,	что она: 1) перпендику

лярна одной из осей координат; 2) параллельна одной из осей коор динат; 3) проходит через начало координат?

31. Записать уравнение плоскости, если она:

1) проходит через точку М(0, 2, 0) и перпендикулярна оси ор

динат;			В(0,		3,	0) и параллельна оси
2) проходит через точки /4(3, 0, 0),
аппликат.	плоскости:		1)	х		2у	Зг 4 -5 =		0	и
32. Параллельны ли
2х + 4у + 62*“+ 1 1 = 0 ;	2)	х — 7у +		Ъг — 1 = 0			и	2х +	у —
— 32 -}- 4 = 0?	ли	плоскости:			1)	2х — Ъ		у 2 + 4 =		0
33. Перпендикулярны
и Зх + 2у + 4г — 1 = 0; 2)		7х — у + 9 = 0 и у + 2z — 3 = 0?

	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
34.	Вычислить				■—у
		координаты единичного вектора а, если извест-
				—^	—V		1).
но, что он перпендикулярен к векторам b =					(1, 1, 0) и с — (0, 1,
35.	Вычислить	косинус	угла	между	векторами	а + Ъ— с
и а — b + с, если		а = (2,	1, 0), b = (3, 0,		1), с = (1,	1, —1).
36.	На координатной оси 2 найти точку, равноудаленную от
точек Л(—4, 1, 7) и В (3, 5, —2).
37.	Найти углы, образованные			вектором ОА = (—2, —1,			1)

скоординатными плоскостями.

38.На координатной плоскости yOz найти точку, одинаково удаленную от точек А(3, 1, 2), В(4, —2, —2), С(0, 5, 1).

39.Прямая задана точками Л(6, 0, 2) и Л(1, —3, 4). Найти зна чения х и у, при которых точка М(х, у , 8) принадлежит прямой А В.

40.	Найти		координаты	точки	пересечения плоскости
2х — у +		z —3 = 0 и прямой, проходящей через точки А(—1, 0, 2)
и В (3,	1,	2).,

41.

Найти

координаты

точки

М и

симметричной

точке

Л4(х, у , z) относительно плоскости хОу.

М(х,

у,

г) вектором

42.

В какую точку отображается

точка

ОЛ =

(а, b, с)?

43.

1) Найти координаты образа точки М(х, у , г) при централь

ной симметрии с центром 0 (0, 0, 0).

Какие координаты имеет образ точки М(х, у, г) при симмет

рии относительно оси аппликат?

проходящей

через

три

44*. Составить

уравнение

плоскости,

точки:

1) М 4(0, 2,

3),

A4s(—1,

3, 1), М3(2, 1,

1); 2) М 4(1, 1,

—1),

М*(2,

0, - 3 ) ,

М3(2,

- 1 ,

4).

точки

М —5,

0),

М2(0,

1, 1),

45.

Доказать,

что четыре

М3 (1,

0, 2), М4(1, 2, 0) принадлежат одной плоскости.

точку

46.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей через

М( 1,

3, —1) параллельно плоскости:

3х + у — 2 +

5 = 0;

2) х — у + 5z — 4 =

Л(—1,

3, 0)

до

плоскости:

47*. Найти расстояние от точки

1) х — 3у — 2z + 5 = 0; 2) х — у

z -\- 17 = 0.

48.

Даны

две

плоскости

I2z — 5 = 0.

х + 2у + 4z +

I = 0

и Зх + 6у +

Найти расстояние между этими плоскостями.

координаты

49*. Дана

плоскость

х +

у + 2 — 1 = 0 .

Найти

точки Мг, симметричной точке М* относительно данной плоскости,

если: 1) M t(l,	2, —1); 2) Aft(3, 0, 1); 3) M t(4, 1, 2).
50*. Дана	плоскость х + 2у — z — 3 = 0. Найти координаты

основания перпендикуляра, опущенного из точки М на данную


плоскость, если:			1) М(2, 0, 0); 2) М(1, 1, —1); 3) М(3, 0, 1).
51. Составить			уравнение плоскости, проходящей через начало
координат параллельно векторам: 1)						—у	—>
						а =	(1, 2, 1) и b = (3, 0, 2);
2) а =	(1, 1,	1) к~Ь = (0,			1, - 1).
52.	Найти	косинусы			углов,	образованных		плоскостью
2х — 6у + 32 — 5 = 0 и координатными плоскостями.								к плоскости
53.	Вычислить			углы наклона координатных осей
х + &у + 42 — 2 =				0.
54.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
Л (2, 3,	—1) и перпендикулярной к прямой, определяемой точками
В(1, 0,	—1) и С(3,			1, —2).			1) 2х — у + 2z — 7 = 0
55.	Найти угол между плоскостями:
и 4х — 3// + 5 =			0; 2) х +		5^ — 42 +	1 =	0 и х + у ~	z — 10 = 0.
56.	Прямая задана точками Л(1, —1, 1) и В(—3, 2, 1). Найти
угол между		прямой (ЛВ)			и плоскостью		6х + 2у — 32 — 7 = 0.

Г Л А В А II

МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ МНОГОГРАННИКИ

§ 5. МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ

Пусть даны многоугольник Ф = АВС... и точка S, не принад лежащая его плоскости (рис. 9). Объединение всех лучей, имеющих общее начало S и пересекающих данный многоугольник Ф (рис. 10),


называется	многогранным углом.
Точка 5	называется	вершиной многогранного угла, лучи S A ,
SB, ... — ребрами. Углы		BSC, ... называются гранями мно
гогранного угла или его плоскими			углами, градусная мера каждого
из них принадлежит промежутку			(0°, 180°).

В зависимости от числа граней различают трехгранные, четы рехгранные, пятигранные и т. д. углы. Многогранный угол обозна чают с помощью букв, называя ими вершину и точки на каждом из ребер, причем на первом месте ставится буква, обозначающая вер шину. Например, пятигранный угол, изображенный на рисунке 10, обозначают SABCDE. Каждые две грани, имеющие общее ребро, определяют двугранный угол, например Z.ESAB, A.ASBC и т. д.

Множество всех точек многогранного угла, не принадлежащих граням, называют его внутренней областью. Если внутренняя область многогранного угла расположена по одну сторону от плос кости каждой из его граней, то многогранный угол является выпук лой фигурой (см. I, § 6).

Невыпуклый многогранный угол изображен на рисунке 11. Мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.

Свойства плоских углов выпуклого многогранного угла обоб щают соответствующие свойства трехгранного угла (1, § 51).

Т е о р е м а	1. Каждый плоский	угол	многогранного угла
меньше суммы остальных его плоских углов.
Т е о р е м а	2. В выпуклом многогранном угле сумма плоских
углов меньше 360°.
Доказывать эти теоремы мы не будем.			выражают необходимые
Заметим, что заключения теорем 1		и 2

условия существования многогранного угла, имеющего плоские углы а ь аг, ... ап. Но выполнение обоих этих условий является и достаточным для существования такого угла. Это мы также при нимаем без доказательства.

З а д а ч и

57°. Многогранный угол имеет п граней. Сколько у него ребер? Двугранных углов?

58.Все плоские углы четырехгранного угла равновелики. Можно ли утверждать, что равновелики все его двугранные углы?

59.Практическая работа.

Из плотной бумаги изготовьте макеты пар плоских углов,

имеющих общую сторону:^30° и 50°, 60°’и 90°, 30° и 140°, 120р и 150р.

Пользуясь ими, попытайтесь изготовить макеты четырехгранных углов, имеющих плоские углы: 1) 30°, 50р, 60°, 90®; 2) 30р, 50°, 30°, 140°; 3) 60°, 90°, 120°, 150°; 4) 60р, 90р, 30°, 140°. Сформулируйте гипотезу: в каких случаях плоские углы не могут быть гранями многогранного угла?

60.Существует ли многогранный угол, имеющий плоские углы:

1)80р, 130р, 70р, 100°; 2) 10р, 20ф, 40°, 80р; 3) 135р, 90р, 60р, 40°; 4) 53р,

63р, 73р, 80р, 90°?

61.В четырехгранном угле SABCD все плоские углы, а также

Л5С равны по 60°. Найти его двугранные углы.

62.В четырехгранном угле два плоских угла, равные по 45р, образуют прямой двугранный угол, два остальных плоских угла равны по 60р. Найти двугранный угол при ребре, являющемся

общей стороной этих углов.

§6. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО

Вэтой и последующих главах мы будем пользоваться понятиями геометрического тела и его поверхности. Дать определения этим понятиям довольно трудно, так как предварительно придется вво дить ряд вспомогательных понятий. Поэтому можно ограничиться теми наглядными представлениями о геометрическом теле, которые вы получили в восьмилетней школе. Примерами таких тел служат куб, цилиндр, конус и т. п.


	Определения	геометрического
	тела и его поверхности можно					вве
	сти следующим образом.
	Рассмотрим в пространстве фигу
	ру Ф (на рисунке	12	для простоты
	изображено лишь ее пересечение с
	некоторой плоскостью).			Точка		А,
	принадлежащая фигуре Ф, называет
	ся ее внутренней точкой			относитель
	но пространства, если существует
	такое положительное		число		г,	что
Рис. 12«.	все точки пространства,			расстояния
	которых до точки А	меньше			г, при
	надлежат Ф. Не следует думать, что
чки относительно пространства.	каждая фигура имеет внутренние то
	Например, отрезок или	треугольник				не
имеет ни одной такой точки.				если каждая
Фигуру Ф называют открытой пространственной областью,

ее точка является внутренней и любые две ее точки можно соединить ломаной, принадлежащей Ф (рис. 12). Примером открытой пространственной области может служить пространство, открытое полупространство (I, § 6) или внут ренняя область многогранного угла (§ 5). Точка В (рис. 12) называется гра ничной точкой открытой области Ф, если для любого г^> О среди точек, находящихся от В на расстоянии, меньшем г, существуют точки, принадле

жащие этой области, и точки, не принадлежащие ей. Множество Р (рис.				12)
всех граничных точек открытой области	называется границей этой области.
Например, границей открытого полупространства		является	плоскость
(I, § 6), границей внутренней области	трехгранного	угла (I, §	49) служит
объединение всех его граней.		Ф и ее	границы	Р
Объединение открытой пространственной области

(рис. 12) называется замкнутой пространственной областью. Примерами зам кнутых областей могут служить замкнутое полупространство, двугранный или трехгранный угол.

Фигура называется ограниченной, если существует такое число R, что расстояние между двумя любыми точками данной фигуры меньше R. При

мером ограниченной плоской фигуры является треугольник, примером неог

раниченной пространственной фигуры служит трехгранный угол.
О п р е д е л е н и е .	Ограниченная замкнутая	пространственная область
называется телом.
Множество всех внутренних точек тела называют внутренней областью
тела, а границу этой	области — поверхностью	тела.	п.
Примеры тел нам известны из восьмилетней школы: куб, шар, конус и т.
В дальнейшем все эти понятия будут уточнены. Трехгранный угол телом			не

является, так как он не удовлетворяет требованию ограниченности. Мы будем рассматривать только выпуклые тела, т. е. такие тела, которые удовлетво ряют определению выпуклой фигуры.

§7. МНОГОГРАННИК

Оп р е д е л е н и е . Тело, поверхность которого является объ

единением многоугольников, называется многогранником.

Многоугольники, составляющие поверхность многогранника (рис. 13), называются его гранями, стороны этих многоугольников—

ребрами,	а	вершины — вершинами многогранника.
Отрезок,		который соединяет две вершины многогранника, не
V\		одной грани, называется диагональю многогранни-
V\		}
■-l§i		<

si i

библиотека С С С Р

ЭКЗЕМПЛЯР ЧИТАЛЫ .О ГО ЗАЛА

Гос, публичная научно-твх.дог тесная

ка. На

рисунке

изображена

ди

агональ

BF.

Многогранник удовлетворяет опре

делению

выпуклой

фигуры

(I,

§ 6)

тогда

и только тогда,

когда

его

вну

тренняя

область

расположена по од

ну сторону от плоскости каждой гра

ни. Мы будем изучать только выпу

клые

многогранники.

много

Вообразим

поверхность

гранника, изготовленной из гибкого

нерастяжимого материала

(например,

жести, картона и т.

п.). Такую по

верхность можно

разрезать

по

не

скольким ребрам

развернуть

так,

что она превратится в некоторый пло

ский

многоугольник.

Полученный

многоугольник

называется

разверт

кой многогранника.

б показаны

На рисунке 14,

развертки многогранника, изображен

ного на рисунке

13.

Полученные раз

вертки не конгруэнтны, но состоят из

соответственно конгруэнтных

много

угольников.

Поэтому

площади

раз

личных разверток

одного

и того же

многогранника равны.

многогран

Для получения макета

ника

можно

сначала

изготовить

его

развертку.

§8. ПРИЗМА. ПРЯМАЯ ПРИЗМА

1.Пусть даны n-угольник Фи плоскость а, параллельная его пло скости (причем Ф1(£а), и прямая /, пересекающая а (рис. 15). Спроекти руем Ф* параллельно I на плоскость а, получим я-угольник Ф. Многоуголь ники Ф1 и Ф конгруэнтны, так как

Ф1 отображается на Ф вектором


XiX,	где Xi— произвольная			точка	этой точки. Для	каждой из
многоугольника		Фь а X — проекция
сторон	ВхСи ... данного			многоугольника объединение всех
проектирующих		отрезков	является		параллелограммом	(АВВ±А и
BCCiBi и т. д.).		Поэтому	объединение всех отрезков [Х Д ], про
ектирующих Ф{		на плоскость		а, есть некоторый многогранник
(рис. 15), число		граней которого равно п + 2.

Смотрите также файлы

Косолапов, В. Г. Свайные работы учебник.pdf

Согласные звуки б, б, буквы Б, б.docx

Ксіпкерлік жне бизнес негіздері пнінен алыптастырушы баалауа арналан тапсырмалар жинаы 10сынып.doc

ыса мерзімді саба жоспар.docx

Система регистрации температуры и влажности с датчика dht11 на контроллере Arduino Nano.docx

Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно