Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 55
Скачиваний: 0
п о это м у
A = N
V (R) = — kR3(cos a — cos p).
3
При изменении R (рис. 133) углы a и (3 остаются постоянными. Применим теорему из § 50:
S ^ AB = |
kR3(cos a — cos |
= |
= 2kR2(cos a — cos p) =
= 2ttR • R (cos a — cos p) = 2nRH.
В частности, последняя формула остается вер Рис. 136 ной и для случая, когда a = 0° (рис. 135).
Итак S ^ AB =2tzRH. .
Т е о р е м а 2. Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Поверхность |
шара (сферу) можно |
|
рассматривать как сегментную поверхность с высотой | NS |, рав |
|||
ной диаметру шара (рис. 136). Положив Н = |
2R в формуле S ^AB = |
||
= 2jiRH, получим: Sm = 4я/?2. ■ |
|
||
П р и м е ч а н и е . |
Эту же формулу можно получить дифферен |
||
цированием формулы |
объема |
шара: |
|
З а д а ч и
516°. Доказать, что площади двух сфер пропорциональны квад ратам их радиусов или диаметров.
517.Во сколько раз площадь земной суши больше поверхности Луны, если диаметр Земли принять за 13 000 км, диаметр Луны за 3500 км, а земная суша составляет 29% земной поверхности?
518.Объемы двух шаров относятся как пг : п. Найти отношение площадей их поверхностей.
519.Радиус шара равен 25 см. На расстоянии 20 см от центра проведена секущая плоскость. Найти площадь поверхности каждого из получившихся шаровых сегментов.
520.Радиус сферы равен R , радиусы оснований шарового пояса равны гi и г2(г4 >> г2). Найти площадь поверхности пояса (два случая).
521. Высота |
шарового слоя равна 27 см, |
радиусы оснований |
|
56 см и 25 см. |
Найти площади поверхностей |
шарового пояса и |
|
шарового слоя. |
|
поверхности земного шара, зак |
|
522. Вычислить площадь части |
|||
люченной между: 1) 0° и 1° широты; |
2) 60° и 61° широты. |
||
106
523. 1) Найти площадь той части земной поверхности, которую видит космонавт при выходе из космического корабля на высоте 300 км над поверхностью Земли.
2) На каком расстоянии от поверхности Земли должен находить ся наблюдатель, чтобы видеть 0,25 земной поверхности? Можно ли увидеть 0,5 поверхности земного шара?
524.Радиус сферы равен R. На каком расстоянии от центра нужно провести плоскость, чтобы отделить от сферы такую часть, площадь которой составляет 0,1 площади сферы?
525.Двояковыпуклая линза ограничена двумя конгруэнтными
сегментными поверхностями. Диаметр линзы равен 50,0 мм,
атолщина 9,0 мм. Найти площадь поверхности линзы.
526.Круговой сектор, радиус которого 12 см, а дуга 30°, вра щается вокруг диаметра, перпендикулярного к одному из крайних радиусов сектора. Найти площадь поверхности вращения.
527.Доказать, что площадь сегментной поверхности
5 = я (г2+ Я 2),
где г — радиус основания поверхности, Я — ее высота.
528. Поверхность полусферы равновелика поверхности шаро вого пояса, который образован вращением дуги в 90° вокруг диа метра, параллельного хорде дуги. Найти отношение радиусов этих сферических поверхностей.
529. Площадь сечения шара равна Q, угол, под которым виден из центра шара диаметр сечения, равен а (а <С 180°). Найти пло щадь меньшей сегментной поверхности, отделенной от шара этим сечением.
530. Круговой сегмент с дугой а и основанием а вращается во круг высоты. Найти площадь поверхности тела вращения. Вычислить
при а = |
60°, a — 2,4 дм. |
дугой 120° |
и площадью 5 вращается: |
531. |
Круговой сектор с |
||
1) вокруг крайнего радиуса; 2) вокруг |
среднего радиуса. Найти |
||
площади |
поверхностей тел |
вращения. |
|
532.1) Доказать, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, диаметр которого равен высоте конуса.
2)Доказать, что поверхность тела, образованного вращением квадрата вокруг стороны, равновелика поверхности шара, радиус которого равен стороне квадрата.
533.1) Найти отношение площадей поверхностей шара и описан ного цилиндра.
2) Около равностороннего цилиндра описана сфера. Найти площадь сферы, если площадь полной поверхности цилиндра рав на Q.
534. Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Найти угол наклона образующей к плоскости основания конуса.
107
535. Около шара радиуса г описан конус, угол наклона его образующей к плоскости основания равен ф. Найти площадь пол ной поверхности конуса. Вычислить при г — 20,2 см, Ф = 48°26\
536.В усеченном конусе, описанном около сферы, радиусы оснований R и г. Найти отношение площади сферы к площади бо ковой поверхности усеченного конуса.
Задачи 537 и 538 рекомендуем решить, используя правило на хождения экстремума функции.
537.Дан шар радиуса R. Найти радиус основания и образую щую вписанного цилиндра, имеющего: 1) наибольшую площадь боковой поверхности; 2) наибольшую площадь полной поверхности.
538.В данный шар вписан конус, имеющий: 1) наибольшую
площадь боковой поверхности; 2) наибольшую площадь полной поверхности. Найти угол при вершине осевого сечения каждого из этих конусов.
§ 52. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА КОМБИНАЦИЮ СФЕРЫ И МНОГОГРАННИКА
Многогранник называется |
вписанным в сферу (в |
шар), |
если |
|||||||||
все вершины многогранника принадлежат сфере. |
В таком случае |
|||||||||||
сферу называют описанной около многогранника. |
|
|
|
|
|
|||||||
З а д а ч а |
1. |
В сферу вписана правильная четырехугольная пи |
||||||||||
рамида, у которой двугранный угол при основании равен а. |
Зная, |
|||||||||||
что площадь сферы равна S, найти площадь .основания пирамиды. |
||||||||||||
Р е ш е н и е . |
Пусть SABCD |
— данная |
пирамида, |
вписанная |
||||||||
в сферу (рис. |
137). Плоскость основания пирамиды пересекает сферу |
|||||||||||
по окружности, описанной около квадрата |
ABCD. Основание |
М |
||||||||||
высоты пирамиды является центром этой окружности. |
плоскостью |
|||||||||||
Согласно следствию из теоремы о |
сечении |
сферы |
||||||||||
(§ 27, следствие 2), прямая SM |
проходит через центр О сферы. |
По |
||||||||||
строим линейный угол SRM двугранного угла ВС. Имеем 5 Ш= |
5, |
|||||||||||
SKM = а. Найти площадь основания пирамиды (S0). |
| OS | = |
R . |
||||||||||
Радиус сферы можно считать известным, обозначим: |
||||||||||||
Выразим через R и а диагональ АС квадрата. |
(пока неизвестный) |
|||||||||||
Рассмотрим Д5ЛС. Введем вспомогательный |
||||||||||||
|
|
угол SCM, обозначим его |
величину |
через |
||||||||
|
|
ф. По |
доказанному точка О лежит в пло |
|||||||||
|
|
скости |
SAC, тогда ДSAC можно считать |
|||||||||
|
|
вписанным в большую окружность сферы. |
||||||||||
|
|
По теореме синусов,. I АС | |
= 2R sin ASC = |
|||||||||
|
|
= 2R sin (180° — 2ф) = |
2R sin 2ф. |
|
|
|||||||
|
|
1 |
\ |
АС |
I |
, QQ | |
|
2£>2 sjn2 2ф; по усло- |
||||
|
|
= — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
вию 4тzR2 ±=S, отсюда R2 = |
И |
|
|
|||||||
|
|
2п |
|
|
||||||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 2ф. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108
|
Остается выразить sin 2ср через функции угла а. |
Из прямоуголь |
|||||||||||||
ных |
треугольников SMC и |
SM K выразим |
их |
общую |
сторону |
||||||||||
|SM |
|. Из ASMC имеем: |57И | = |
| МС |-tg<p; из A SM K : |SM | = |
|||||||||||||
= |
| МК | tg а, |
значит, | МС | tg ф = | МК | tg а. |
Но |
из треугольника |
|||||||||||
КМС : | МС | = | МК | ]/2 , поэтому |
У~2 tg ф = |
tg a, |
tg ср = |
- -g . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
По формуле sin 2ср = |
получим: sin 2ф = |
|
|
|
• |
Следо- |
|||||||||
вательно, 5 = —4- tg а— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
п (2 |
-f- tg2 а )2 |
описанным |
около |
сферы |
|
(шара), |
||||||
|
Многогранник |
называется |
|
||||||||||||
если все его грани касаются сферы. |
В таком случае сферу называют |
||||||||||||||
вписанной в |
многогранник. |
пирамиды — ромб |
со |
стороной а |
|||||||||||
и |
З а д а ч а |
2. |
Основание |
||||||||||||
острым углом а, каждый из двугранных углов при основании ра |
|||||||||||||||
вен (3. |
Найти |
объем шара, вписанного в пирамиду. |
|
(рис. |
138), |
||||||||||
|
Р е ш е н и е . |
Пусть SABCD — данная |
пирамида |
||||||||||||
ABCD—ромб, |
DAB <С 90°. Проведем [SO] _±_ пл. |
ABCD, |
через то |
||||||||||||
чку О проведем высоты [М/С! и [NL] ромба. [SKU-WB] |
(теорема |
||||||||||||||
о |
трех перпендикулярах), ^ iSKO — линейный |
угол |
двугранного |
||||||||||||
угла |
АВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично строим линейные углы при остальных сторонах осно |
||||||||||||||
вания пирамиды. Согласно условию задачи, SKO=SLO = |
SAW = |
||||||||||||||
= SNO. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Прямоугольные треугольники SKOf SLO, SMOf SNO конгру |
||||||||||||||
энтны, так как они имеют общий |
катет |
SO |
и |
равные |
углы, |
||||||||||
противолежащие этому катету. Отсюда | ОК | = |
| OL |
| = |
| ОМ | = |
||||||||||||
= |
| ON | и О — центр окружности, |
вписанной в ромб ABCD, |
т. е. |
||||||||||||
О — точка пересечения диагоналей |
АС и |
BD. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
По условию в данную пирамиду вписан шар. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Докажем, что его центр лежит на высоте SO пирамиды. Впишем |
||||||||||||||
в треугольник SOK,полукруг OAiQ, центр 0 4 которого лежит на ISO], а дуга касается [SK] и [О/ClТреугольник SOK вместе с полу кругом OKiQ будем вращать вокруг (SO). Катет ОК опишет круг, вписанный в ромб ABCD, поэтому гипотенуза SK при вращении остается внутри пирамиды, за исключением четырех положений, когда IS К] будет совпадать с высотами боковых граней. Следова тельно, шар, образованный вращением полукруга OKiQ, будет иметь
единственную общую точку с каждой из |
боковых граней. Этот |
||||
шар касается и основания пирамиды в точке О. |
SABCD, принад |
||||
Итак, |
центр |
шара, вписанного в пирамиду |
|||
лежит высоте пирамиды. |
|
|
|
||
Имеем: | АВ | = | AD | = |
a, DAB = |
a, SKO — (3. |
|||
Найдем |
объем |
вписанного |
шара. |
£ |
тг | ОпО |3. Проведем |
|
|
|
|
3 |
|
109