Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf

поверхности равна 9 6 ]/3 , а площадь полной

поверхности

2) В правильной n-угольной

пирамиде боковое ребро

равно

b, плоский угол при вершине а.

Найти площадь боковой

поверх­

ности.

треуголь­

157. 1) Основанием пирамиды служит прямоугольный

ник с катетами а и Ь, высота пирамиды проходит через

вершину

2) Стороны основания треугольной

пирамиды равны

34

см,

20 см и 18 см, две боковые грани пирамиды, проходящие

через

большие стороны основания, перпендикулярны к плоскости

осно­

вания, высота пирамиды равна 12 см. Найти площадь полной

по­

верхности.

пирамиды — треугольник

со

сторонами

5 см,

5 а

158. Основание

и 6 см,

высота пирамиды проходит через центр круга,

вписан­

ного в этот треугольник, и равна 2 см. Найти

площадь

боковой

поверхности.

6 дм,

159.

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами

15 дм,

высота пирамиды проходит через точку пересечения

диаго­

налей и равна 4 дм. Найти площадь боковой поверхности.

высота

ее

160.

Основанием

пирамиды

служит

параллелограмм,

проходит

через точку пересечения диагоналей основания.

До­

казать,

что

любая

плоскость, проходящая через высоту

пирами­

ды,

делит полную

поверхность

пирамиды

на

две равновеликие

части.

пирамиды 30 см и 60 см, высота равна 5 см. Найти площадь ее

пол­

ной

поверхности.

пло­

164. По высоте h и сторонам оснований а к Ь (а > Ь) найти

щадь

боковой

поверхности правильной усеченной пирамиды:

1) треугольной;

2) четырехугольной; 3) я-угольной.

Изготовить развертки:

1) правиль­

ной

треугольной

усеченной

пирамиды;

2) правильной шестиугольной усечен­

ной

пирамиды.

Вычислить площади их

боковых и полных поверхностей.

166. На рисунке 46 изображен бун­

кер,

поверхность основной

части кото­

рого

представляет боковую поверхность

правильной

четырехугольной усеченной

пирамиды.

По

размерам,

указанным

на рисунке (в сантиметрах), вычислить,

сколько квадратных дециметров листо-

вого

железа нужно для изготовления

бункера (не считая рука-

вов

А и В).

ные треугольники, боковые их стороны равны а и

b (а >* 6),

углы

при вершинах треугольников равны 120°. Ребро

пирамиды,

про­

Возможны два случая: 1) одна из сторон

данного

треугольника

параллельна плоскости проекций

(рис. 47,

а)\ 2) все стороны тре­

угольника принадлежат прямым,

пересекающим а

(рис. 47, б).

1. Пусть IАВ] || а (рис. 47, а).

Через [АВ] проведем плоскости

(kA'B'C' можно

получить,

отобразив треугольник АВСХ век­

тором

А А '). Поэтому вместо площади треугольника А'В'С' будем

искать

площадь

треугольника

АВС

Проведем [CDJJAAB], соединим Dx и С,, тогда [CiDJ _L [АВ]

(I,

§

43) и

CDfit — ср.

5Д лбс, =

— | АВ | • | CXD^.

Но | C1D11=

| CD11• cos ф,

поэтому

2

SA авс, =

| АВ | •

| CDX| cos ср =

SA abq

• cos ср.

2.

Из трех

вершин

треугольника

АВС выберем ближайшую к

плоскости а, пусть это будет вершина А.

Проведем через А плоскость a^ l а

(рис. 47, б), проекцией тре­

угольника АВС на плоскость сц

будет треугольник A B fi4.

Пусть (£С)

пересекает а 4 в точке Л4. Тогда SA л^с,

=

5длмс,—

—SA AMBt = 5д АМС ' COS Ф —SA АМВ *COS ср = (SA АМС— SA АМв) COS Ср=

=

SA ABC • COS cp.

му

Всякий многоугольник можно разбить на треугольники, поэто­

нетрудно

доказать,

что теорема верна и для многоугольника..

З а д а ч а .

Площадь основания пирамиды равна Q, двугранные

углы при всех сторонах основания рае-

ны ф.

Доказать,

что

&

Q

----------•

’

COS Ср

Р е ш е н и е .

В данной пирамиде

SABCDE (рис.

48)

проведем

высоту

[50],

затем

строим

линейные

углы

SKOy

SLO, ...

(детали

построения

опускаем). Согласно условию задачи,

SKO =

SLO =

SNO =

... =

ф.

Из

4

/

конгруэнтности

прямоугольных

тре­

угольников SKO, SLO, 5iV0, ... по­

лучим:

| /СО | =

| L0

| = | N0 | =

В

L

=

...,

т. е.

О — центр

круга,

впи­

Рис. 48

санного

в основание ABCDE

пира-

правильной

пирамиды.

площадь

полной поверхности

Докажите

самостоятельно, что

пирамиды, удовлетворяющей условию задачи,

может быть найдена

по формуле

Sn = Q • tg ср • ctg

.

172.

1) Основание

пирамиды — ромб со стороной

б см

и уг­

лом 45°, все двугранные углы при

сторонах основания равны 30°.

Найти площадь полной поверхности пирамиды.

2)

В

правильной

пирамиде площадь

боковой поверхности

втрое

больше площади

основания.

Найти

двугранный

угол

при

стороне

основания.

треугольной

усеченной пирамиде стороны

173.

В правильной

шего

основания равен

60°. Найти площадь боковой поверхности.

§ 19. ПОНЯТИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ

О п р е д е л е н и е .

Многогранник

называется

правильным,

если

все его грани — конгруэнтные

правильные

многоугольни­