Файл: Клопский, З. А. Геометрия пробный учебник для 10 класса средней школы.pdf

площадь полной поверхности этого параллелепипеда и площади его диагональных сечений.

§ 13. ПИРАМИДА

Пересечем все ребра /г-гранного угла плоскостью а, не проходя­ щей через его вершину S. Получим некоторый многогранник

SABC... (рис. 33).

О п р е д е л е н и е . Многогранник, одна из граней которого я-угольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину, называется «-угольной пирами­

дой.

При этом я-угольник (ABCDE на рис. 33) называется основанием пирамиды, ос­ тальные ее грани называются боковыми гранями. Общая вершина 5 всех боковых граней называется вершиной пирамиды. Объединение всех боковых граней пирами­ ды называется ее боковой поверхностью. Ребра пирамиды, не принадлежащие ее основанию, называются боковыми ребрами.

Различают треугольные, четырехуголь­ ные, пятиугольные и т. д. пирамиды. В треугольной пирамиде (тетраэдре) любая из граней может быть принята за осно­ вание.

28 .

вания. Далее отмечают основание высоты пи­ рамиды и изображают высоту (чаще всего в

виде вертикального отрезка), вычерчивают боковые ребра.

Чертеж пирамиды можно выполнить в кабинетной проекции. На ри­ сунке 36 показано построение изображения правильной треугольной пи­ рамиды. Сначала изображаем высоту [BD] основания (без изменения ее ве­ личины), затем сторону [АС] (расположив ее под углом 45° к [BD] и уменьшив вдвое). Основание О высоты пирамиды делиг [BD] в отношении 1 : 2. Наконец изображаем высоту [OS]_L{B£)J и боковые ребра SA, SB и SC. [SD] — апо­

фема пирамиды.

правильной пирамиды?

2) Может ли правильный многоугольник служить основанием неправильной пирамиды?

29

119°. Среди трех отрезков — высоты, бокового ребра и апофемы

1) двугранные углы при сторонах основания; 2) углы наклона боко­ вых ребер к плоскости основания.

121.Доказать, что непересекающиеся ребра правильной тре­ угольной пирамиды взаимно перпендикулярны.

122.1) Сторона основания правильной четырехугольной пира­ миды равна а, высота h. Найти боковое ребро и апофему.

2)Решить такую же задачу для правильной треугольной пира­

миды.

123.Основанием пирамиды служит ромб со стороной 13 см, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 12 см. Найти боковые ребра пирамиды, если одна из диагоналей основания равна 10 см.

124.В правильной шестиугольной пирамиде двугранный угол при стороне основания равен 45°, сторона основания равна а. Най­ ти высоту и апофему пирамиды.

125.На двух боковых ребрах пятиугольной пирамиды, не при­ надлежащих одной грани, дано по точке. Построить точку пересече­ ния прямой, проходящей через данные точки: 1) с плоскостью основания; 2) с плоскостью боковой грани, не содержащей ни одной из данных точек.

126.В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, двугранный угол при основании равен ср. Найти пло­ щадь сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пира­ миды.

127.Найти площадь диагонального сечения правильной че­ тырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12 см, боковое ребро образует с плоскостью основания угол ср. Вычислить при <р = 15°20\

128.В правильной шестиугольной пирамиде сторона основа­ ния равна а, высота пирамиды равна Н. Найти площади диагональ­ ных сечений.

129.В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через вершину пирамиды и середину стороны основания параллель­

но одной из двух других сторон основания. Вычислить площадь сечения, если сторона основания равна 10 дм, а боковое ребро

16дм.

130.Построить сечение четырехугольной пирамиды плоско­ стью, проходящей через три точки, расположенные на трех ее боковых ребрах.

131.В правильной четырехугольной пирамиде провести се­ чение, проходящее через диагональ основания и параллельное бо­ ковому ребру. Найти площадь сечения, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ср.

3 0 -

132. Плоские углы при основании правильной четырехуголь­ ной пирамиды равны ср. Найти двугранные углы: 1) при ребре основания; 2) при боковом ребре. Вычислить эти углы при ср =759.

133.Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен (3. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

134.Практическая работа.

Спомощью разверток изготовить макеты: 1) правильной тре­ угольной пирамиды, стороны основания которой равны 4 см> а высота 5 см\ 2) неправильной треугольной пирамиды, все боковые ребра которой равны.

Вычислить для каждой из пирамид угол наклона бокового ребра к плоскости основания и к стороне основания.

§ 14. ГОМОТЕТИЯ ПРОСТРАНСТВА

Для плоскости и пространства определения гомотетии (а также преобразования подобия) аналогичны. Более того, все свойства гомотетии и подобия, изученные в планиметрии, можно распро­ странить на пространство. Поэтому мы ограничимся кратким об­ зором этой темы.

О п р е д е л е н и е 1. Гомотетией с центром О и коэффициен­ том k=f= 0 называется преобразование пространства, которое каждую

точку М отображает в такую точку M v что OMY= kOM.

Для пространства эта теорема доказывается так же, как и ана­ логичная теорема планиметрии (рис. 37 и 38).

Сл е д с т в и я .

1.При гомотетии с коэффициентом k все расстояния между

точками умножаются на | k |:

0 M

\31