Файл: Вопросы общей и теоретической тектоники [сборник]..pdf

ноё и поэтому никакими аффинными преобразованиями нель­ зя превратить, скажем, ромб в трапецию. Отношение цент­ ральной симметрии — также аффинное; оно опреде­ ляется пропорцией отрезков, лежащих на одной прямой (ра­ венством радиуеов одного и того же дйаметр1а); в то же время отношения осевой или плоскостной симметрии не аффинные; так как они определяются через отношение перпендикулярно­ сти, неустойчивое в данном классе преобразований.

Фигуры, которые могут быть аффинными преобразования­ ми переведены одна в другую, называются аффинно эквива­ лентными. Так, любой треугольник аффйннб эквивалентен лю­ бому другому треугольнику, любой квадрат аффинно эквива­ лентен любому ромбу, окружность аффинно эквивалентна лю­ бому эллипсу. Так как метрические преобразования являются «младшим» подклассом класса аффинных преобразований, то любая метрическая эквивалентность (равенство, конгруэнт­ ность) в то же время и аффинная эквивалентность. Обратное в общем случае несправедливо.

В классе аффинных преобразований, кроме метрических, можно выделить и другие частные виды преобразований, на­ пример, сжатие к центру (гомотетию), сжатие к оси, сжатие к плоскости. Сжатие к центру, равномерное по всем направле­ ниям, сохраняет равенство углов. Комбинацию гомотетии с движениями (переносами, поворотами) иногда называют пре­ образованиями подобия. Геометрические свойства тела, ин­ вариантные относительно преобразований подобия, составля­ ют форму этого тела. Форма тел очень часто рассматривает­ ся совместно с их метрическими свойствами, а иногда даже относится к классу метрических свойств (Делоне, Ефремович, 1970). Сжатия к оси или плоскости — более глубокие аффин­ ные преобразования, нарушающие равенство углов. Именно эти преобразования, например, переводят окружность в эл­ липс, шар в двухосный или трехосный эллипсоид.

центральных проектированиях (т. е. при проектированиях пучком сходящихся или расходящихся прямых). Такие проек­ тирования, изменяющие конфигурацию тела, называют проективными преобразованиями. Понятно, что аффинные преобразования можно рассматривать как частный случай проективных, так как параллельные линии можно представить пересекающимися в бесконечно удаленной точке. Основной ин­ вариант проективной геометрии определяется четырьмя точ­

55

лйндра или конуса, но нельзя преобразовать поверхность ша­ ра. Могут быть заданы и дифференциальные преобразования

любых непрерывных преобразованиях, т. е. таких преобразо­ ваниях фигуры, которые сохраняют бесконечно близкие точки бесконечно близкими, а удаленные на конечные расстояния удаленными на конечные расстояния. Другими словами, при топологических преобразованиях фигуру можно как угодно изгибать, сжимать, вытягивать, мять, скручивать, но не рвать, а также не склеивать (не вводить в соприкосновение) две не со­ прикасающиеся между собой ее точки. Хотя фигура после та­ ких преобразований будет выглядеть абсолютно непохожей на первоначальную, все-таки некоторые ее геометрические свой­ ства остаются неизменными. К таким свойствам относятся замкнутость пли незамкнутость поверхности, наличие или от­ сутствие дыр или пустот в поверхности или теле, связность пли несвязность отдельных частей тела (т. е. возможность или невозможность соединить эти части непрерывной линией, це­ ликом принадлежащей телу). Сохраняются неизменными и некоторые геометрические отношения—соприкосновения, пе­ ресечения, включения. Если до преобразования в пространстве был проведен вектор и установлена последовательность рас­ положения тел на этом векторе, то эта последовательность сохранится и после любых топологических преобразовании пространства.

Фигуры, которые могут быть переведены топологическими преобразованиями одна в другую, называются топологически эквивалентными или гомеоморфнымн. Например, бублик гомеоморфен двухпудовой гире и кофейной чашке, плоскость гомеоморфна полусфере и кувшину без ручки.

Любое из описанных преобразований может быть осуще­ ствлено геометрическим построением непосредственно на чер­ тежах, схемах, но это не обязательно. У каждого класса пре­ образований имеется хорошо разработанный аппарат алгебры или анализа (дифференциального и интегрального исчисле­ ний), описывающий данный класс преобразований. Геометри­ ческие построения более удобны при ручной обработке, алгеб­ раические—при машиной. Алгебраический аппарат, описы­ вающий даже самые простые и наглядные виды преобразова­ ний, иногда очень сложен. Например, повороты фигуры в про-

57.

Етранетве требуют привлечения алгебры квартерниоыбв — ги­ перкомплексных чисел. Однако геолога не должна пугать эта сложность. Владеть самим аппаратом —это, вообще говоря, не его дело. Для геолога вполне достаточно уметь задать вид преобразования и его параметры, а со всем остальном мате­ матик и ЭВМ справятся и без него.

Любое преобразование может быть задано в евклидовом пространстве. Евклидово пространство — наиболее привыч­ ный для нас по школьной и вузовской практике частный Слу­ чай метрического пространства. В отличие от других метрике1 ских пространств (Лобачевского, Римана) это пространство изотропно — свойства фигуры в нем не меняютсй в зависимо­ сти от ее расстояния от начала координат, от ориентировки. Все геологические построения производятся в евклидовом про­ странстве, геологические тела и их границы йзображакэтсй в декартовой (ортогональной, прямоугольной) Системе коорди­ нат. Можно Взять фигуру, заданную координатами в декар­ товой системе, произвести над ней необходимые преобразова­ ния, скажем, аффинные или топологические, и преобразован­ ную фигуру снова задать в декартовой системе. Это и будут аффинные или топологические преобразования в евклидовом пространстве.

Но иногда информация о положении в декартовой системе, о размерах тела, углах между его гранями или ребрами нас попросту не интересует, в решаемую нами задачу она никак не входит. Тогда удобно производить операции в пространстве, в котором размеры и углы не фиксированы, в аффинном про­ странстве. Соответственно, пространство, в котором фиксиро­ ваны только свойства, инвариантные при топологических пре­ образованиях,— топологическое пространство. При строгом определении и аффинное, и топологическое пространства за­ даются некоторым набором аксиом, смысл которых как раз и сводится к тому, какие именно свойства мы условливаемся учитывать, а какими пренебрегаем. Конечно, при необходи­ мости изобразить на чертеже какую-то фигуру аффинного про­ странства мы вынуждены прибегать к изображению в евкли­ довом пространстве: ведь фигуры аффинного пространства «безразмерны», с незафиксированными углами, а изображая на бумаге, мы придаем фигуре и размер, и форму. В этом слу­ чае размер и форма берутся произвольными. Если в тополо­ гии понятие «сфера» означает одновременно и сферу, и эл­ липсоид, и амебу самых прихотливых очертаний, то мы рису­ ем на бумаге именно сферу,— самую простую из фигур этого

58

топологического класса. Разделить понятие преобразований в евклидовом пространстве и операций в неметрических прост; ранствах важно для дальнейшего изложения.

Значение геометрических свойств

Попробуем оценить полезность строгих геометрических nd; нятий с позиции конечной цели геологии — обнаружения ме­ сторождений полезных ископаемых. Геологи ищут месторож­ дения в абсолютном большинстве случаев не по прямым, а по косвенным признакам. Установив приуроченность нефтяных залежей к антиклиналям, .геолог ищет антиклинали; зная ас­ социации алмаза с гранатами, — ищет гранаты; обнаружив постоянную связь германия с углями, — ищет угли; другими словами, сначала устанавливаются поисковые критерии; а за­ тем по пространственному распределению этих критериев оконтуриваются перспективные площади. Эта задача — уста­ новление одних свойств объекта по другим, нахождение само­ го объекта по косвенным признакам — широко распростране­ на во всех технических, естественных и общественных науках. Такую же задачу решает врач, пытаясь установить болезнь по внешним симптомам,— это общеизвестный врачебный ди­ агноз. По аналогии с медицинским диагнозом задача обнару­ жения некоторого объекта, свойства, явления по косвенным признакам получила название диагноза (см. напр., Ледли и Ластед, 1963) или распознавания. При решении ее строят две классификации — диагнозирующую и диагноэируемую, т. е. классифицируют то, что ищут, и то с помощью чего ищут (Во­ ронин и др., 1970). В качестве диагнозируемой классификации обычно выступают классы месторождений и неместорождений, в качестве диагнозирующей — различные классы геологиче­ ских объектов. Эти классы могут быть выделены по любым свойствам геологических объектов, в частности, по веществен­ ным и геометрическим. Можно ограничить диагнозирующую классификацию свойствами, непосредственно фиксированны­ ми в точках наблюдения,— литологическим составом пород, палеонтологическими определениями, элементами залегания и т. д., т. е. наблюденным фактическим материалом. Такая классификация была бы идеальной с точки зрения объектив­ ности.

Однако этот подход, теоретически идеальный, практи­ чески нереализуем. Дело в том, что с формальной точки зре­ ния можно классифицировать фактический материал различ­

59

ным образом. Число вариантов такой классификаций ничем не ограничено, и ни один вариант с формальных позиций не мо­ жет рассматриваться как предпочтительный перед другими. Можно было бы выбрать предпочтительный вариант только в том случае, если бы было известно, что при таком построе­ нии классификации с одним из ее классов всегда или в доста­ точном для нас большинстве случаев связаны искомые место­ рождения. Другими словами, нужен эмпирический материал о связях класса диагнозирующей и класса диагнозируемой классификаций, о связях поискового критерия и искомого объекта. Тогда, если этот материал невелик, мы можем пред­ полагать по аналогии, что и в данном случае, когда мы имеем поисковый критерий, с ним должен быть связан искомый объект. Если этот материал велик и во всех известных слу­ чаях с поисковым критерием был связан искомый объект, то мы возводим эту связь в ранг закона и диагнознруем искомый объект по поисковому критерию детерминированно. Если только в m процентах случаев поисковый критерий был свя­ зан с искомым объектом, мы диагнознруем с вероятностью Pm.

При решении задач распознавания эмпирический материал о связях диагнозирующей и диагнозируемой классификаций обычно доставляет ЭВМ: она перебирает весь предъявленный ей перечень симптомов или поисковых критериев (классов ди­ агнозирующей класнфикации) и устанавливает на материале обучения, какой из этих симптомов или поисковых критериев чаще других связан с болезнью или месторождением. Часто бывает, что этот перечень слишком велик, и полный перебор неосуществим. Таковыми обычно бывают и наборы геологи­ ческого фактического материала. Чтобы избежать полного пе­ ребора, надо как-то ввести ограничения. Чтобы эти ограниче­ ния не были произвольными, чтобы за бортом не остались на­ илучшие поисковые критерии, нужны какие-то предваритель­ ные знания о связях классов диагнозирующей и диагнозируе­ мой классификаций. В медицине это имеющийся врачебный опыт, в геологии — имеющийся геологический опыт. Но если мы обратимся к диагнозирующей классификации дискретных множеств точек наблюдения, то увидим, что такого опыта по­ просту не существует.

Геолог практически никогда не предсказывает месторож­ дение по набору фактического материала для карты, он пред­ сказывает их по уже построенной карте. Весь имеющийся гео­ логический опыт связан с геологическими картами, т. е. с мо­ делями полнозаданного геологического пространства, каждая

60