Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

«О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ» ДИОФАНТА

Александрийская математика от Евклида и до Апол­ лония носит ярко выраженный геометрический характер: «логистика», т. е. вычислительная математика, предо­ ставляется купцам. Но в конце III века до н. э. у Архи­ меда и Аполлония замечается довольно ясно выраженный интерес к вычислительной математике, а во II веке до н. э. геометрическая школа типа Аполлония и совсем почти пропадает. Какие причины привели к вырождению геометрических методов? Можно привести две. Во-пер­ вых, III век до н. э. был эпохой расцвета вавилонской вы­ числительной астрономии. Возникшая в VI веке до н. э. в обстановке крушения сначала мелких, а потом и круп­ ных государств храмового типа и образования универ­ сальных монархий, она имела тесную связь с астрологией и пыталась математическими методами предсказать буду­ щее, раскрыть волеизъявление фатума при помощи вы­ числения движений планет, получивших имена старых вавилонских богов, которые, таким образом, из миродержателей стали простыми служителями, информато­ рами велений фатума. Пунические войны и их продолже­ ние в первой половине II века, связанные с установлением гегемонии Рима в Средиземноморье, создали в последнем такую же обстановку, как и в Передней Азии VI века до н. э. В греческой философии это выразилось созданием стоицизма, научные основы которого давала вавилон­ ская вычислительная астрономия, лучше сказать — астро-

28

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

логия; в математике же появляются исследования, свя­ занные с установлением новых систем счислений у Архи­ меда и Аполлония (достаточно указать на место, которое занимает астрономия в «Псаммите» Архимеда). Во II веке появляется сферическая и плоская тригонометрия, принимается вавилонская шестидесятеричная система счисления, градусное измерение углов. Введение послед­ него связано с именем греческого математика середины II века Гипсикла, который в математических кругах из­ вестен как автор 14-й книги «Начал» Евклида, а также не дошедшего до нас сочинения «О многоугольных чис­ лах», которое стало нам известно по носящему то же название произведению Диофанта.

Треугольными числами в арифметике называются суммы последовательных чисел натурального ряда, на­ чиная с единицы. Это будут ах = 1, а2 = 1 + 2 = 3, а3 =

= 1 + 2 + 3 = 6 , . . . , а п = 1 + 2 + 3 + . .. + п = —( 2~~ ^ •

Каждое треугольное число может быть изображено в виде треугольника, число углов которого (3) одновременно дает и «(количество) углов» соответствующего числа. Вместо натурального ряда мы можем взять и более общий случай арифметической прогрессии, у которой первый член и разность отличаются от единицы. Наша задача состоит в том, чтобы найти число, равное сумме членов соответ­ ствующего арифметического ряда. Эта задача в настоящее время не представляет для нас большого интереса, но все же стоит подумать, почему же ею занимались два антич­ ных математика, разделенных некоторым (даже не впол­ не определенным) временем. Кроме того, аналогичные вопросы интересовали математиков индийских, средне­ азиатских (ал-Каши, XV век) и, наконец, ими занимался также поклонник геометрических (не алгебраических) методов знаменитый французский математик XVII века Блэз Паскаль, арифметический треугольник которого из­ вестен ученикам средней школы.

Мы не будем заниматься арифметическим треугольни­ ком, но приведем из сочинений Паскаля цитату, которая

2У

И. Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ

«Те, кто хотя бы в малой мере разбирается в уче­ нии о неделимых, не преминут усмотреть, что можно извлечь из предыдущих результатов для определе­ ния криволинейных площадей. Эти результаты по­ зволяют немедленно квадрировать параболы всех видов и бесконечно мпого других кривых.

Если мы распространим на непрерывные вели­ чины те результаты, которые найдены для чисел по методу, изложенному выше, мы сможем высказать следующие правила.

Правила, относящиеся к прогрессии натуральных чисел, начинающейся с единицы.

Сумма некоторого числа линий относится к ква­ драту наибольшей линии, как 1 к 2.

Сумма квадратов тех же линий относится к кубу наибольшей, как 1 к 3.

Сумма кубов относится к четвертой степени наи­ большей, как 1 к 4.

Общее правило, относящееся к прогрессии нату­ ральных чисел, начинающейся с единицы.

Сумма одинаковых степеней некоторого числа линий относится к непосредственно следующей сте­ пени наибольшей из них, как единица к показателю этой степени».

Поэтому я полагаю, что Гппспкл и Диофант пытались найти алгебраическое выражение того метода суммиро­ вания, которое применялось Архимедом в его работах J). Работа Гипсикла не дошла до нас, работа Диофанта «О многоугольных числах» дошла не полностью. Нам придется ограничиться рассмотрением того материала,

к -1

лих умели находить задолго до Диофанта: б) многоугольные числа ин­ тересовали и продолжают интересовать математиков независимо от каких бы то нц было проблем интегрального исчисления. (Прим, рей.)

3U

И. Ы. ВЕСЕЛОВСКИЙ

Подставляя вышеприведенное значение <5 (;?. членов), получаем тождество

Основная цель этой формулы заключается в том, чтобы установить связь суммы арифметической прогрессии с не­ которым квадратом. В качестве примера положим а = 2, т. е. рассматриваемая прогрессия представляет последова­ тельность нечетных чисел. Тогда 165 = (4/г)3, или S = п2.

Любопытно отметить, что формула Диофанта остается верной и прп а = 1 (сумма чисел натурального ряда), когда разность а — 2 становится отрицательной.

Доказательство, помещенное после формулировки предложения IV, представляет не что иное, как подтвер­ ждение тождественности формул (1) и (2), выражающих соответствующее положение. В этом доказательстве лю­ бопытны два момента. Во-первых, отрезками изображают­ ся не только отрезки — члены рассматриваемой прогрес­ сии, по п стоящие при них числовые коэффициенты. Во-вторых, в процессе доказательства Диофанту при­ шлось рассмотреть произведение двух квадратов, которое должно дать квадрат их среднего геометрического. Он знает, что в классическом греческом анализе допустимы только квадраты и кубы линейных отрезков; поэтому он считает необходимым дать в качестве прибавления соот­ ветственное доказательство.

Мы указали, что одной из причин упадка классической греческой геометрии было появление вычислительной математики, связанной с принятием вавилонской астро­ номии. Теперь мы можем указать и вторую. Если в гре­ ческой математике величины изображались отрезками, то это позволяло иметь дело только, с квадратами или куба­ ми, но у Диофанта отрезками стали изображаться п числа, а это позволило выйти за пределы второй и третьей сте­ пени. Кроме того, алгебраические методы позволяли дать более простые и удобообозримые способы доказательства, в чем легко может убедиться читатель, сравнивая гео­ метрические доказательства с помещенными у нас алге­ браическими. В этом отношении Диофант является про­ возвестником новой эпохи в математике.

32

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

Последние теоремы имеют целью доказать определе­ ние, данное Гипсиклом. Пусть дана арифметическая про­ грессия

1 + (1 + а) + (1 + 2а) + . . . + [1 + (п - 1) а].

а= 2, то мы получаем четырехугольники ОАВС, ОАхВхСх

ит. д. Таким образом, получаются первые (основные) многоугольные числа 3, 4 и т. д. Из самого способа их

угольного числа мы называем сторону наибольшего полу­ чившегося многоугольника ОА + А А Хи т. д. Если длину каждого из получающихся отрезков положить равной единице, то для любого многоугольника Z, получившего­ ся после суммирования п членов прогрессии, мы имеем сторону = п — 1. Мы можем сделать сторону равной п, если в качестве первого отрезка (единицы) возьмем и на­ чальную точку О; этим объясняется наличие выражений «если принять первым отрезком единицу» или «увеличить количество отрезков на единицу». В рассуждениях Гипспкла Диофант видит недостаток — отсутствие аналитичес­ кого доказательства. Его 1-я теорема позволяет написать

8 (а + а) а + (а — а)2 = [(а + а) + 2а]2,

а 4-я

(1)85а + (а - 2)2 = [2 + (2л - 1) а]2,

наконец, 1-я, примененная к прогрессии (а — 2) + а +

+ (а + 2 ),—

(3) 8 (а - 2) а + (а - 2)2 = [(а + 2) + 2а]2.

Если правую часть перепишем в виде

(2 + За)2 = [2 + (2-2 - 1) а]2,

то из сравнения (1) и (3), получим S = а + 2, п = 2. Пусть S есть сумма двух первых членов прогрессии, опре­ деляющих число углов N получаемого многоугольного числа; тогда 5 = 1 Ѵи . / Ѵ ' = а + 2 . Сторона многоуголь­ ника определяется числом взятых членов прогрессии