КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ «О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ»
ДИОФАНТА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО
I1] л-угольными числами называются последовательные суммы арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью п — 2.
Так, |
треугольными числами будут последовательные суммы прогрес |
сии 1 + |
2 + |
3 + |
4 4 - . . . |
+ |
те + |
. . ., т. о. числа 1, 3, 6,10, |
. . ., |
т |
~j~. |
|
, квадратными — последовательные суммы прогрессии |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
3 + |
5 + |
7 + |
, . . ., |
т. |
е. |
чпсла 1, 4, |
9, |
16, . . ., |
те2, . . . |
|
|
|
Вероятно, еще пифагорейцы изображали многоугольные числа |
(или |
просто |
многоугольники) |
в |
виде |
точек, располагающихся |
|
|
о |
|
|
о |
|
о |
о |
о |
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
о |
о |
о |
|
о |
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
о |
о |
|
о |
О О О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
о |
о |
о |
|
о |
о |
о |
о |
о |
о |
о |
|
о |
|
о |
о |
о |
|
о |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 6. а) Треугольное число, |
б) |
квадратное число, в) пятиугольное число |
в вершинах |
соответствующего |
правильного |
многоугольника. |
На |
прилагаемом рисунке мы даем схему образования я-уголыіых чисел для п = 3, 4, 5.
[2] Если б”является п-угольным числом, т. е. суммой те членов арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
d = я — 2, то, как здесь утверждает Диофант,
8S (я — 2) + (л — 4)2 =
Он устанавливает это в предложении IV. |
|
|
[3] Если а — d, а, |
а + |
d — три последовательных |
члена ариф |
метической |
прогрессии, то, |
согласно |
Диофанту, |
|
|
|
|
8а (а -{- d) -|- (а — d)~ — [За |
d]2. |
|
Г1] |
В |
предложении II |
выводится |
формула |
для |
определения |
т-го члена арифметической прогрессии, а именно: |
|
|
|
|
|
«т — «1 = |
d (т — 1), |
|
|
|
где d — разность, |
аг — первый член прогрессии. |
|
[5] В предложении III выводится формула суммы т членов |
любой арифметической прогрессии. |
|
|
|
|
[°] |
В предложении IV |
устанавливается, |
что |
|
|
|
|
8Sd + |
{d — 2)2 = |
[2 + |
d (2т - I)]2, |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б1= |
1 + |
(1 + |
d) + |
... + |
[1 + |
(т - |
1) й]. |
|
[7] |
|
'\Об этом доказательстве см. в вводной статье «О многоуголь |
ных числах». |
|
|
|
|
|
|
|
|
[8] Гипсикл — александрийский математик и астроном II века |
до н. э. Ему принадлежит |
так |
называемая «четырнадцатая книга |
„Начал“, которую он добавил к 13 книгам |
Евклида. В этой книге |
сравниваются объемы додекаэдра и икосаэдра, |
вписанных в одну |
и ту же сферу. Известна также его астрономическая работа «Ана- |
форик» |
(см. о нем подробнее в книге: |
Б. В а н - д е р - В а р д е н , |
Пробуждающаяся наука, Москва, 1959). |
|
|
|
[°]В основу решения этого вопроса положена формула
SS(я — 2) + (п — 4)2 = □ .
Однако конца решения не сохранилось. П. Таннери считает, что весь отрывок принадлежит не Диофанту, а одному из позднейших комментаторов.
Баше показал, что решение вопроса можно получить, если ис ходить из формулы
2S = 2 т -|- 771 (т. — 1)(я — 2),
|
|
|
|
|
|
КОММЕНТАРИИ |
где і |
= п —2. Отсюда он вывел, что |
|
|
4 + пт — п — 2т |
|
, |
л = 2+ 2 (■? — т) |
|
|
|
|
|
т |
т ( т — 1) 1 |
а значит, |
|
|
|
|
|
(*) |
- — |
и |
---- — |
|
должны быть целыми. |
m |
|
ni(m — 1) |
|
|
Так |
как п ^ . 3, |
то |
2 (S — т ) |
|
4 |
что приводит к условию |
т (т — 1) |
|
' |
(**) |
|
|
» < - |
| + / 21 + 8 Д . |
Число т , для которого выполняются условия (*) и (**), и дает решение.
ДОБАВЛЕНИЕ 1 СВОДКА ЗАДАЧ ДИОФАНТА
1.
ЛГ + У = а ,
X —У = ъ.
2.
X + У = а,
X = IcY.
X + У = а,
3. У ,
х - Т = ъ-
У = к Х ,
Y - X = a.
X -(-У = а,
m Т п
КНИГА I
10. |
а + Х |
= к. |
Ъ — Х |
11. |
Х + а |
= к. |
X — ь |
а = Х + Y = U + V,
a = Z + y=Z7 + F =
13. |
= *? + 7\ |
|
|
_ х _ _ ѵ _ |
т_ |
— |
ц —к, g |
—I, у |
XY
14.X + Y - к ограничение: У>А.
X + Y = a,
6.
|
|
m |
п |
7,- |
X — а |
: к. |
X |
— b |
8. |
Х |
+ а |
= к. |
X |
+ Ь |
а - Х
9.Ъ — X = к.
Х + а |
= к, |
Y + b |
= |
l. |
15. Y — a |
X — b |
Х\ + Хъ — а,
16.Х 2+ Х з = Ь, Хз + Х і = с?
ограничение:
а-}- b -}- с
>а , Ь, с.
