Файл: Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах.pdf

КОММЕНТАРИИ

Диофапт выбирает q в качестве нового неизвестного, а р берет та­

ким, чтобы оно было одновременно и квадратом н кубом. Он выби­

Это уравнение вместе с предыдущим составляет двойное равенство, которое, как замечает Диофант, можно решить обычным способом.

Замечание Ферма к задаче VIS2 и к комментарию Баше к этой аадаче, который посвящен двойным равенствам (№ XLIII):

«Там, где двойные равенства, или £іл:Хою6т7]те?, не­ достаточны, следует прибегать к тройным равенствам, или

трі7іХоюбтт)ТЕ?, которые открыты памп и которые вед>т к решению множества прекрасных задач.

Пусть, например, падо приравнять квадратам

А + 4, 2Х + 4, 5А + 4,

получаем тройное равенство, которое легко решить с помощью

двойного равенства.

Если положить вместо X некоторое число, которое вместо

2А 2 + SA Д- 4, третье 5А2 Д- 20А Д- 4.

Первое число является квадратом по построению, зна­ чит, нужно приравнять квадратам

2Х 2 + 8Х Д- 4 и 5Х2 Д- 20А + 4,

и получаем двойное равенство, пз которого найдем, правда, только одно решение, но из него можно вывести новое реше­ ние, а из второго выведем третье и так до бесконечности.

Чтобы сделать это, надо, если найдено некоторое значе­ ние для А, положить вместо А в уравнении АДпервоначаль­ но найденное значение для А . Таким путем получим беско­ нечно много решений, каждое из которых выводится из пре­ дыдущего п присоединяется к уже полученным.

Благодаря этому открытию мы можем получить беско­ нечно много треугольников с одинаковой площадью, чего, как кажется, не знал Диофант, как это явствует из задачи Ѵа1), в которой он ищет только три треугольника с одина-)*

*) В нашем издании это вторая левша к задаче Ѵт.

3 0 8

АРИФМЕТИКА КНИГА VI

новой площадью, чтобы решить последующую задачу отно­ сительно трех чисел, но эта задача, благодаря впервые

можем многое добавить, что не было открыто ни древними, ни современными авторами. Однако для того, чтобы удосто вериться в важности нашего метода п показать, как его при­ менять, достаточно решить следующий очень трудный вопрос:

Найти прямоугольный треугольник в числах, гипотену­ за которого была бы квадратом, а также и сумма сторон при прямом угле.

Искомый треугольник представлен следующими тремя числами:

4687298610289, 4565486027761, 1061652293520,

ион образован двумя числами: 2150905 и 246792.

Спомощью другого метода мы открыли решение следую щего вопроса:

Найти прямоугольный треугольник в числах при условии, что квадрат разности сторон при прямом угле минус удвоен­ ный квадрат меньшей из этих сторон составляет квадрат.

Один из треугольников, который удовлетворяет вопросу, будет следующим: 1525, 1517, 156, образованный числами

39 и 2.

Добавлю с уверенностью, что два треугольника, которые были приведены как решения двух предложенных задач, являются наименьшими в целых числах, которые удовлет­ воряют вопросам.

Наш метод таков. Ищут решение предложенного вопроса обычным методом. Если после окончания вычислений не до­ биваются успеха, потому что значение неизвестного числа получается со знаком недостатка и должно быть рассмотрено как меньшее нуля, то мы с уверенностью заявляем, что не следует падать духом (и стоять разиня рот, как говорит Виет и как делал и он сам и древние аналисты), но надо вновь вернуться к вопросу и подставить вместо неизвестного X

число, найденное при первом вычислении и имеющее знак недостатка. Таким образом получится новое уравнение, которое приведет к решению в настоящих числах [т. е. поло­ жительных рациональных.— И . Б.].

309

КОММЕНТАРИИ

Этим путем мы решили оба вышеприведенных вопроса, которые иначе были бы очень трудны; мы доказали также, что число, являющееся суммою двух кубов, может быть раз­ ложено на два другие куба, и дали их построение, которое; может потребовать повторения всей операции до трех раз а именно часто случается, что поиски истины вынуждают самого искусного н усердного аналиста к многократному повторению вычислений, как это легко обнаружить на опыте».

20. Задача ѴІ23 эквивалентна системе

Замечания Ферма к задаче 20 Баше, которую последний при­ соединил к задаче ѴІ24 (№ XLV).

Баше присоединил к задаче ѴІ24 ряд новых задач, из которых задача 20 гласила: «Найти прямоугольный треугольник, площадь которого равна заданному числу». Ферма сделал к этому замечание, в котором содержится доказательство того, что уравнение X* —

— У4 = Z2 не имеет решений в целых числах. Как нетрудно видеть,

310

АРИФМЕТИКА КНИГА VI

это — частный случай Великой теоремы Ферма, а именно для п = 4. Мы приведем это доказательство:

«Площадь прямоугольного треугольника в числах не может быть квадратом.

Мы дадим доказательство этой найденной нами теоремы, которую мы открыли после мучительных и долгих раздумий, но этот род доказательства приведет к чудесным успехам в Арифметике.

Если бы площадь треугольника была квадратом, то были бы даны два квадрато-квадрата, разность которых была бы квадратом, откуда следует, что были бы даны два квадрата, сумма и разность которых были бы квадратами: значит, име­ лось бы квадратное число, равное квадрату и удвоенному квадрату при условии, что квадраты, которые его составляют, в сумме дают квадрат. Но если квадратное число составлено из квадрата и удвоенного другого квадрата, то его сторона подобным же образом составляется из квадрата и удвоенного квадрата, что мы можем легко доказать, откуда заключаем, что эта сторона является суммой сторон при прямом угле прямоугольного треугольника, и один из этих составляющих квадратов будет основанием, а удвоенный второй — высотой.

Значит, этот прямоугольный треугольник будет составлен из двух квадратных чисел, сумма и разность которых будут квадратами. Можно доказать, что эти два квадрата меньше, чем первоначальные квадраты, относительно которых было предположено, что их сумма и разность образуют квадраты. Значит, если даны два квадрата, сумма и разность которых образуют квадраты, то даны в целых числах два квадрата, имеющих то же свойство, но сумма которых меньше первой.

Таким же рассуждением получим затем другую сумму, меньшую той, которая была выведена из первой, и так до бесконечности будем находить целые числа, постоянно убы­ вающие. Но это невозможно, так как если дано целое число, то не можѳть иметься бесконечности целых чисел, меньших его х).

Полное доказательство с развернутыми пояснениями не может быть помещено на полях из-за их узости.

Тем же рассуждением мы нашли и доказали, что никакое треугольное число, кроме единицы, не равно квадрато-квад- рату».

) Имеются в виду положительные целые числа.