Файл: Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений.pdf

ботки по продуктивности жильных площадей и их количеству, которое удовлетворяло бы плановые задания по показателям, установленным годовым планом. Это значит, что необходимо найти такой алгоритм оптималь­ ного распределения добычи по выемочным участкам, который позволил бы определить оптимальное состояние системы в целом (приблизиться к глобальному опти­ муму системы) и в то же время учитывал бы оптималь­ ное состояние подсистем по субкрптерпям. В такой по­ становке задача нахождения оптимального состояния системы в целом может рассматриваться как многоце­ левая.

Формулировка многоцелевой задачи оптимального распределения добычи продукции по выемочным участ­ кам может быть выполнена, например, в двух вариантах

(табл. 6.1).

2 7 2

В каждом варианте выделено по три главных кри­ терия с вынесением прочих показателей в разряд огра­ ничений. При этом следует учесть, что порядок распо­ ложения критериев оптимизации и ограничений не означает рангового порядка их значимости.

По каждому из критериев и сопряженным с ними показателям, выделенным в разряд ограничений, состав­ ляются оптимизационные плановые модели, в результате решения которых находят субоптимумы системы горно­ рудного производства. Полученные оптимальные реше­ ния по разным критериям являются основой нахождения компромиссного многоцелевого решения с использова­ нием теории игр.

Алгоритм многоцелевого оптимального распределе­ ния добычных работ по выемочным участкам различных категорий продуктивности с применением методов тео­ рии игр. Рассмотрим условия задачи многоцелевого распределения добычных работ методами теории игр.

Имеются два игрока (условно): А — производствен­ ное предприятие и В — природа.

Стратегия производственного предприятия опреде­ ляется его производственной программой в соответствии с заданными показателями. Стратегия фиктивного игрока В сложна п многообразна, она не может быть охарактеризована одним обобщающим критерием. Она состоит из множества целевых функций Zb Z2, .... Z„. Фиктивный игрок В может быть также интерпретирован как орган, выдающий задания производственному пред­ приятию (игроку А). Игрок А должен выбрать для себя такую -стратегию, чтобы соответствовать окружающей его природе, а также соответствовать производственным задачам, определяемым ему вышестоящими организа- цияіМп. Оптимальная стратегия игрока А должна обес­

печивать ему при любых действиях игрока В выигрыш, не меньший, чем цена игры V. Игроку А необходимо определиться относительно возможного риска. Нужно выбрать наступательную или оборонительную страте­

гию.

Оборонительная стратегия строится на принципе осторожности и сводит риск к минимуму, в то время как наступательная стратегия, хотя и направлена на полу­ чение наибольшего выигрыша, сопряжена с большим риском при ее реализации.

Оборонительную стратегию принято называть также

273

оптимальной стратегией, выбор ее в рассматриваемом случае наиболее целесообразен, особенно если учесть, что игрок А в своей игре должен учитывать не только все возможные проявления окружающей среды (природ­ ные условия месторождения), но и управляющие воз­ действия вышестоящего органа.

В соответствии с изложенным задание сформулиро­

вано следующим образом: имеется система целевых

П

функций CijXj-HTiin (max) с системой ограничений

АХ^Ь и Х^О, где А — матрица коэффициентов ограни­ чений; X — искомый вектор, равный вектору независи­ мой переменной; Ь — вектор абсолютного (свободного) члена систем ограничений. Целевые задачи Zb Z2, ..., т

обозначены как Z (Сцхj ) :

Часть целевых функций, соответствующих г^.т кри­ териям, должна быть максимизирована; соответствую­ щих критериям (пг — г) — минимизирована.

Каждая из j = (1, т) целевых функций

Z = СдХі -)- с12х2+ • • • + сітхт -> min (max)

подлежит оптимизации в отдельности с ограничениями Лх Ь, х^О.

После оптимизации /= 1, 2, . . т целевых функций будет найдено т оптимальных решений вектора xj. По­ лученные одноцелевые оптимальные решения являются основой для определения оптимального состояния иссле­ дуемой системы в целом.

Применительно к поставленной задаче оптимизации задание может быть сформулировано следующим обра­

оптимальным производственным векторам Xj. По отно­ шению ко всем рассматриваемым критериям эта выпук­ лая линейная комбинация представляет оптимальные решения, поэтому в наибольшей степени отвечает одно­ временно всем поставленным целевым задачам. Для нахождения многоцелевого оптимального решения долж­ на быть составлена матрица альтернативных потерь V

274

в соответствии с принципом min max (критерием Сэ­ виджа).

Игрок А имеет в своем распоряжении стратегическое количество М] = {хі, х2, . . х,„}, а игрок В — стратеги­ ческое количество М2= {2 £'і; ZE2; ZEm}, причем ZE характеризует max или min целевой функции.

Платежная матрица игры V приведена в табл. 62.

Таблица 62

х т um i Vm2 vmr ~ v m . r + 1 . . . 0

игрок А примет решение, соответствующее оптимальному вектору производства хь то он не будет иметь потерь, поскольку вектор Xj по отношению к целевой функции ZE\ является оптимальным. В другом случае, если игрок В выберет стратегию ZEU а игрок А примет реше­ ние, соответствующее оптимальному вектору производ­ ства х2, то игрок А потерпит убыток в размере —ѵ2І. По терминологии теории игр, игрок А должен выплатить игроку В проигрыш в размере —ѵ2\. Дальнейшие ходы

275

игроков интерпретируются аналогично изложенному выше. В общем случае, если представить, что р и q — любые произвольно выбранные элементы стратегических количеств игроков А и В, ход игры может быть сфор­ мулирован следующим образом: если игрок А выбирает производственный вариант хр, а игрок В независимо от А выбирает целевую функцию Zp, игрок А должен выплатить игроку В проигрыш в размере —vpq, хотя

—ѵРч может быть также равен нулю.

Игрок А, естественно, будет стремиться в соответ­ ствии со всеми ходами игрока В (в соответствии с его целевыми функциями) выбрать производственные реше­ ния, приводящие к минимальным потерям. Такой эффект дает смешанная оптимальная стратегия. Для определе­ ния коэффициентов —v.pq платежной матрицы в такой постановке вопроса подходит абсолютная величина отно­ сительной погрешности по отношению к выбранной целевой функции

где х/ — оптимальный вектор производства; х,( — /е-й век­ тор производства.

Величина vpq представляет собой, таким образом, абсолютную величину относительной погрешности по отношению к ZEr+min (шах), если используют не опти­ мальный для этого случая вектор производства х,, а век­ тор х/(, оптимальный для целевой функции ZE;<-Hnin

(max).

Игры без седловой точки, как уже отмечалось, могут решаться методами линейного программирования. Это имеет преимущество в связи с возможностью использо­ вания стандартных алгоритмов и программ. Наиболее целесообразно для решения задач такого класса исполь­ зовать симплекс-метод линейного программирования.

Если обозначить оптимальные стратегии обоих игро­ ков через р и д, цена игры может быть определена как

S ' " “ 1

276