Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

136 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ ЕГЛ. у

Вслучае, если коэффициенты а, (3 и с удовлетворяют не­ равенствам

фазовый портрет системы будет иметь вид, представленный на рис. 13. КДк следует из фазового портрета, на всей прямой s = 0, за исключением лишь начала координат,

фазовые траектории направлены навстречу друг другу и на этой прямой возникает скользящий режим. В начале координат условия возникновения скользящего режима заведомо нарушаются, так как в любой окрестности этой точки всегда найдутся такие траектории, по которым изо­ бражающая точка «уходит» от прямрй переключения. Введение же в функцию управления релейного члена би приводит к тому, что при Ху — — 0 величина s = = —би имеет знак, противоположный s, и поэтому в си­ стеме е управлением — — би прямая s = О является прямой скольжения.

Определим теперь условия, при которых плоскость s = 0 является плоскостью скольжения. При выбранном законе управления (5.6) найдем величину s в силу системы (5.1), имея в виду, что для точек плоскости переключения

п—1*

*n = — S CiXi 1=1

§ 2] УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ 137

к

з = 2 [ста.1— ci (стап) — (стЪ) xIJ,i]a:i

i=l

п—1

l=Jc+l

Из этого соотношения следует, что условия скользя­ щего режима (1.9) будут выполнены в каждой точке пло­ скости переключения, если коэффициенты a t и|рг в функ­ ции управления (5.6) и коэффициенты сг уравнения плоскости удовлетворяют следующим условиям:

имеют знаки, противоположные s, а слагаемые во второй сумме равны нулю. Полученные соотношения являются не только, достаточными, но и необходимыми условиями существования плоскости скольжения. Действительно, пусть для некоторого i = г одно из условий (5.8), (5.9)

существования плоскости скольжения. Существенно, что в таких системах выбор коэффициентов сг, с помощью которых обеспечивается желаемый характер движения в скользящем режиме, не может быть осуществлен про­ извольно, так как эти коэффициенты должны удовлетво­ рять уравнениям (5.9). Исключение составляет лишь слу­ чай, когда к = п — 1, т. е. условия (5.9) отсутствуют, а неравенства (5.8) всегда можно выполнить за счет соот­ ветствующего выбора коэффициентов а г и Р,-. Если же ограничены коэффициенты а г и рг, то коэффициенты с,- могут быть выбраны лишь из диапазона, задаваемого неравенствами (5.8). Наличие таких дополнительных огра­

1 3 8 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. у

ничений (5.8) и (5.9) на выбор коэффициентов уравнения плоскости переключения и составляет специфику задачи синтеза систем рассматриваемого типа. Приведем при­ меры, в которых уравнения скольжения выбираются с учетом ограничений, обусловленных условиями суще­ ствования плоскости скольжения. Рассмотрим случай, когда свободное движение системы описывается уравне­ ниями (II.VII), в которых п = 3, ах = а2 = а3 = 0, т. е.

Поставим задачу обеспечить в такой системе сущест­ вование скользящего движения и наделить это движение желаемыми динамическими свойствами, используя для этой цели известные в теории линейных систем способы оценки процессов с учетом специфических ограничений, вытекающих из условия существования плоскости сколь­ жения. Например, выберем коэффициенты уравнения плоскости переключения (5.12) так, чтобы с учетом (5.8), (5.9) обеспечить максимальную степень устойчивости скользящих движений.

Имея в виду, что для рассматриваемого случая (5.10)

стЪ = 1, стах = 0, ci (стап) = схс2, стаг = сх, ста3£= с2,

условия (5.8), (5.9) следует записать в следующей форме:

§ 2] УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ 139

При выполнении (5.13), (5.14) в системе (5.10), (5.11), (5.12) на всей плоскости s — 0 возникает движение в скользящем режиме, описываемое согласно (II.VIII) ли­ нейными уравнениями

хх = х2

(5.15)

==— ^2^2

спостоянными, параметрами с1 и с2.

Выберем коэффициенты сх и с2, исходя из оценки «сте­

Имея в виду (5.14), исключим из (5.13) и (5.16) вели­ чину сх:

(5.17)

Р < - c l

и

Найдем корни характеристического уравнения (5.18)

Из (5.19) очевидно, что чем больше величина с2, тем быстрее затухает движение в скользящем режиме. Это оздачает, что коэффициент е2 следует выбрать максималь­ но большим. Но при этом следует помнить о том, что ве­ личина с2 должна удовлетворять (5.17) и при ее увели-

' чении может нарушиться последнее из неравенств (5.17). Поэтому искомое значение с2, обеспечивающее максималь­ но возможную скорость движения системы в скользящем

—режиме, получаем из (5.17):

В качестве второго примера рассмотрим задачу вы­ бора коэффициентов сг и с2 для той же системы (5.10),

140 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. V

(5.11), (5.12), но уже исходя из другого критерия — инте­ грального. Выберем и с2 из условия минимума инте­ грала

Примем за начало отсчета момент попадания изобра­ жающей точки на плоскость скольжения, а начальные условия выберем равными хх (0) = 1, х2 (0) = 0. В рас­ сматриваемом случае интегральная оценка (5.21) имеет вид

Напомним, что величина с2 должна удовлетворять неравенствам (5.13). Поэтому, если для значения с2, до­ ставляющего минимум выбранному интегральному крите­ рию, неравенства (5.13) выполняются, то это значение и следует принять за искомое; если минимум / дости­ гается при таком значении с2, что неравенства (5.13) нарушатся, то в качестве искомого значения с2 следует принять одно и'з граничных значений (т. е. значений, при которых одно из неравенств (5.13) обращается в равенство).

§ 3. Условия устойчивости скользящих движений

Так как в системе с переменной структурой (5.1) с управлением (5.6) коэффициенты уравнения плоскости скольжения не могут быть выбраны произвольно, то может оказаться, что в рамках ограничений (5.9) не су­ ществует плоскости скольжения с желаемым характером движения в скользящем режиме.