Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 3
142 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. V
Иэкв, вычисленном npuL условии s = 0, все корни, кроме корня стап имели отрицательные действительные части.
Покажем прежде всего, что если в систему (5.1) подставить вме сто и величину иэкв, вычисленную при условии s = 0, то в резуль
тате получим линейную систему с постоянными коэффициентами, у характеристического уравнения которой одни из корней будет
равен сТап. Согласно методу эквивалентного управления нвкв на
ходится как решение уравнения s = 0 относительно и. Из (5.24) находим а0кв при условии s = 0:
|
ii—i |
|
|
“экв = |
2 |
IcTal ~ ci (cTa")l xi- |
(5-25) |
|
i=i |
|
|
Полученное значение |
нэкв |
является линейной |
функцией х, |
поэтому в результате его подстановки в систему (5.1) вместо управления и получим линейную систему с постоянными коэффициентами. Так как уравнения (5.1) и (5.24) эквивалентны, то для опреде ления корней характеристического уравнения этой линейной си стемы можно рассматривать систему, которая получится в резуль тате подстановки иэкв из (5.25) не в (5.1), а в (5.24):
i 1= Л1!-1 ass,
(5.26)
S = (стап) s.
Обратим внимание на то, что матрица Л1 в (5.24) является мат рицей, которая согласно (И.VI) и (5.2) определяет уравнения дви жения в скользящем режиме. Из этой же системы (5.26) видно, что последнее уравнение не зависит от х\, и следовательно, один из кор ней характеристического уравнения системы (5.1) при и, равном
иэкв, вычисленном в соответствии с (5.25), действительно равен стап-
Остальные корни этого уравнения, очевидно, совпадают с корнями характеристического уравнения системы
±х — Лхх\
которая согласно (5.2) описывает движение в скользящем режиме. Следовательно, если все корни характеристического уравнения
системы (5.26), кроме корня стап, имеют отрицательные веществен ные части, то движение в скользящем режиме асимптотически устой чиво. Достаточность условий теоремы доказана. Необходимость легко доказывается от противного. Действительно, если характери стическое уравнение системы (5.26) или системы, полученной в ре зультате подстановки вместо и значения иакв согласно (5.25), помимо
(стап) имеет какой-либо корень с неотрицательной вещественной частью, то движение в скользящем режиме не может быть асим птотически устойчиво.
13] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 143
Воспользуемся доказанной теоремой для построения системы с переменной структурой, в которой плоскость переключения является плоскостью скольжения, а дви жение в скользящем режиме вдоль этой плоскости устой чиво. В такой системе, описываемой уравнением (5.1) с управлением (5.6), должны выполняться условия (5.8), (5.9) и при и, равном uaKBl все корни характеристического уравнения, кроме одного, равного стап, должны иметь отрицательные действительные части. Обратим внимание на то, что при выполнении условий существования плос кости скольжения (5.9) величина uaKB в (5.25) будет являться линейной комбинацией не всех, а лишь к ком понент вектора х :
|
к |
|
|
Иэкв = |
— {стЪ)~х2 [ста1— сх(стап)] xv |
(5.27) |
|
|
г= 1 |
|
|
Предположим, что для некоторого линейного управ- |
|||
Кг!Ч| |
|
|
|
ления и = |
(Y;=const, 1 |
^ п — 1) |
один из |
г—1
корней характеристического уравнения системы (5.1) является действительным и равен а у остальных дей ствительные части отрицательны. Тогда, приравнивая коэффициенты при соответствующих х ( в эквивалентном управлении (5.27) к коэффициентам величину (сг ап) — к Я и добавляя к этим соотношениям условия (5.9), полу чим следующую систему уравнений:
ст(а1-|- by{) — Ci% = |
0 |
(i = l , . . . , к), |
cTal — c(X = |
0 |
(г == к -f-1, . . . ,п — !)/• (5.28) |
cTan — X = 0 . |
|
|
Решение этой системы n уравнений относительно п - 1 переменных сх, ■ • сп_х (напомним, что сп = 1) и по зволяет найти уравнение плоскости скольжения с устой чивым движением. Для выяснения вопроса о существова нии решения системы (5.28) обратимся к вспомогательной системе из п уравнений относительно п переменных сх,
си •••,
стМ * - ХЕ) = 0, |
(5.28а) |
V
144 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. У
где А * = А + by, у — тг-мерный вектор-строка, первыми к элементами являются коэффициенты а ос тальные п — к элементов равны нулю. Очевидно, что если существует решение системы (5.28а), у которого сп — 1, то существует и решение системы (5.28). Так как к явля-' ется собственным числом матрицы А *, то система (5.28а) имеет нетривиальное решение. Если в этом решении спф Ф 0, то найдется также и решение, у которого сп = 1. Это означает, что решение системы (5.28), вообще говоря, существует. Таким образом, задача синтеза системы с пе ременной структурой с устойчивым движением по плоско сти скольжения сводится, во-первых, к нахождению какого-либо линейного управления, при котором все кор ни характеристического уравнения, за исключением, быть может, одного, имеют отрицательные вещественные части, во-вторых, к определению коэффициентов плоскости пере ключения из системы (5.28) и, в-третьих, к выбору раз рывных коэффициентов в управлении (5.6) в соответствии с неравенствами (5.8) *). Решение первой задачи облег чается с увеличением числа к или количества свободных параметров у£, с помощью которых достигаются требуемые значения собственных чисел матрицы А *, но при этом усложняется управляющее устройство системы с пере менной структурой, формирующее управления (5.6) в виде суммы воздействий по к координатам с разрывными коэффициентами. Для к = п — 1 условие существова ния плоскости скольжения (5.8), (5.9) будет содержать только’ неравенства. Если на коэффициенты а £ и (3£ не наложено никаких ограничений, то все с, в уравнении плоскости скольжения могут быть выбраны произвольно, и поэтому вопрос об устойчивости движения в скользя щем режиме, описываемом уравнением (5.1), решается
спомощью разработанных в линейной теории критериев. Щ Проиллюстрируем описанный метод нахождения управ ления, которое обеспечивает существование плоскости скольжения с устойчивым движением на примерах систем
спеременной структурой третьего и четвертого порядков. Вновь рассмотрим систему, описываемую уравнениями
(5.10), (5.11), (5.12). Убедимся, что для такой системы
*) Мы исключаем из рассмотрения вырожденный случай, когда произведение стЬ окажется равным нулю.
§ 3] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СКОЛЬЗЯЩИХ ДВИЖЕНИЙ 145
всегда можно найти плоскость скольжения, в которой движение устойчиво. Согласно изложенному выше ме тоду при и, равном у#!, найдем корни характеристиче ского уравнения системы (5.10)
Р3 = у. |
(5.29) |
Корни уравнения (5.29) соответственно равны
Ч = V~4 > о,
Ч з = 3/ т ( - 4 “ ± JТ 5). |
Re (Ч з) < о, |
и при любом у ]> 0 характеристическое уравнение системы (5.10) имеет только один корень в правой полуплоскости. Это означает, что в рассматриваемой системе коэффициен ты уравнения плоскости скольжения с устойчивым дви жением могут быть найдены в соответствии с уравнениями (5.28), которые в нашем случае имеют вид
ci Vy |
- У, |
(5.30) |
С1 |
3 г- |
|
V |
= |
|
Из (5.30) следует, что сх = у2/», с2 = у1/». (Разумеется, при этом должны выполняться условия (5.13), т. е. а > —у,
Р < |
- т . ) |
Рассмотрим теперь пример системы четвертого поряд ка, движение которой описывается уравнениями
|
Т-г — 'f'i+l |
(^ — ^ |
^)) |
||
|
Ж4 = U. |
|
(5.31) |
||
|
|
|
|||
Пусть управление и является воздействием лишь по |
|||||
координате |
(т. е. |
к = 1): |
|
||
|
а |
при |
ацяЧО) |
4 |
|
и = — Т я ь |
ЧГ = |
|
|
||
при |
£iS<[0, |
S = 2 cixU С4 = 1. |
|||
|
Р |
||||
г= 1
(5.32)
В соответствии с описанной процедурой найдем при и — ух± корни характеристического уравнения р 4 = у
146 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ |
[ГЛ. V |
|||
системы (5.31), |
если |
у ?> 0: |
|
|
|
^1,2 = |
db |
^3,4 — + 7 V 'Т• |
|
Очевидно, что |
в этом случае |
нельзя выбрать три |
корня' |
|
с отрицательной действительной частью. В связи с этим попытаемся обеспечить существование плоскости? сколь
жения с |
устойчивым движением, формируя |
управление |
|||||||
и в виде |
суммы воздействий по хг и х2: |
|
|
||||||
|
|
|
и = |
— vF1a;1 — vF2a:2, |
|
1 |
(5.33) |
||
_ |
fax |
при X !S >0, |
[а* |
при |
a?2s > |
0, |
|||
1 |
1 |
при Sj.s <С 0, |
2 — 1 ра |
при |
x2s < |
0. ] |
|
||
Составим теперь для и = |
ург^ + |
уая;а характеристическое |
|||||||
уравнение |
системы |
(5.31) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Pi — ЪР — Vi = 0. |
|
(5.34) |
|||
Если |
ух = |
гггг, у, |
= г2 — гх (rlt г2 — const), |
то |
урав |
||||
нение (5.34) |
представимо в виде |
|
|
|
|
||||
|
|
(Р — га) (р3 + |
г2р2 + ?\2р + |
гх) = 0. |
|
(5.35) |
|||
При гх ?> 0, г2 ?> 0 и г\ ?> гг все корни уравнения (5.35), кроме одного (X = г2), имеют отрицательные действитель ные части. Это означает, что для нахождения коэффициен тов плоскости скольжения с устойчивым движением мож но воспользоваться уравнениями (5.28), записанными применительно к системе (5.31):
Ti — С\Х = |
о, с1-\-у2.— СгХ = |
0, |
с2 — с3Х = |
0. |
(5.36) |
|
Подставляем в |
(5.36) значения |
|
у2 и X, выраженные |
|||
через гх и г2, |
получаем |
= гх, |
с2 |
= г2, с3 = |
г2. |
Коэф |
фициенты ах, рх и а2, Р2 следует выбрать с учетом найден
ных значений ct в |
соответствии |
с (5.8). |
синтеза |
З а м е ч а н и е . |
Описанный |
выше метод |
|
основывался на определении такого линейного |
управле- |
||
и |
|
|
|
ния и — 2 7ixi> при котором в характеристическом уравне- j=i
нии системы п — 1 корень имеет отрицательные действи