Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

148 УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ. V

уравнение в (5.24а) имеет вид s — Xs, т. е.

Последняя группа равенств означает, что уравнение для s в (5.24а) при произвольном и можно переписать следую­ щим образом:

В рассматриваемой системе иЭКВ, вычисленное при условии

ных управлений в (5.24а) убеждаемся, что полученные таким образом линейные системы имеют п — 1 одинако­

вый корень, а отличаться будет только один корень, оп- k

деляющий поведение координаты s. Так как при и = 2 ТЛ

г=1

совпадающие п — 1 корень этих систем имеют отрицатель­ ные действительные части, то согласно приведенной здесь теореме движение по плоскости скольжения устойчиво.

Таким образом, если в собственном векторе матрицы Л*, соответствующем корню X, все сг (i = к -(- 1, . . .

. . ., п) равны нулю, существование плоскости скольже­ ния с устойчивым движением можно обеспечить с помо­ щью управления, состоящего из воздействий по к — 1 координате с разрывными коэффициентами.

Г ЛА В А VI

УСТОЙЧИВОСТЬ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ СТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ

л

§vl. Постановка задачи

При рассмотрении систем управления, состоящих из нескольких линейных структур, основное внимание было сосредоточено на условиях существования скользящего режима на всей границе разрыва, т. е. существования плоскости скольжения, и на условиях устойчивости дви­ жения вдоль этой границы разрыва. Если за счет соот­ ветствующего выбора коэффициентов уравнения плоскости скольжения удается наделить движение в скользящем режиме желаемыми свойствами, в том числе и устойчи­ востью, то задача синтеза будет решена до конца, если ^изображающая точка из любого начального положения всегда попадает на плоскость скольжения. В построенной таким образом системе, начиная с некоторого момента времени, всегда начнется и не прекратится движение

скользящем режиме.

В этой главе будет рассмотрен вопрос об устойчивости систем такого типа в предположении, что в пространстве координат системы существует плоскость скольжения с асимптотически устойчивым движением. Очевидно, что в такой постановке задача об асимптотической устойчи­ вости системы в целом сводится к нахождению условий попадания *).

Прежде чем перейти к изучению вопроса о попадании для различных типов систем, структура которых меняется за счет скачкообразного изменения коэффициентов функ­ ции управления, уточним математическую постановку задачи. Рассматривается динамическая система (5.1) с уп­ равлением (5.6), в которой плоскость переключения (II.V) является плоскостью скольжения, т. е. выполня­ ются условия (5.8) и (5.9), и движение в скользящем ре­ жиме, описываемое системой (5.2), асимптотически устой­ чиво. Пусть в начальный момент времени ^изображающая

*) Здесь и в дальнейшем, так же как и ранее, условия попа­ дания изображающей точки на плоскость переключения из произ­ вольного начального положения для краткости будем называть ус­ ловиями попадания.

точка не находится на плоскости переключения, т. е.

Задача о попадании сводится к отысканию условий, при,); выполнении которых всегда найдется такой момент вр& мени tj, что

Очевидно, что при t в системе будет существовать движение в скользящем режиме, стягивающееся к началу координат пространства хг, . . ., х п. Отдельно следует сказать о случае, когда изображающая точка асимпто­ тически приближается к плоскости переключения, т. е.

Убедимся в том, что условие (6.3) позволяет сделать вывод об асимптотической устойчивости рассматриваемой, системы.

Движение в скользящем режиме описывается линей­ ными уравнениями с постоянными коэффициентами и по условию является асимптотически устойчивым, поэтому устойчивость этого движения будет носить экспоненциаль­ ный характер. Если функция s (t) не превосходит по модулю некоторой величины Д, то согласно методу экви­ валентного управления решение системы такого типа будет отличаться по норме от решения уравнения сколь­ зящего режима па бесконечном интервале времени на величину порядка А. Движение в скользящем режиме асимптотически устойчиво и в силу условия (6.3) при достаточно большом t величину Д можно сделать сколь угодно малой. Это означает, что решение рассматриваемой системы, у которой изображающая точка асимптотически приближается к поверхности разрыва, также асимпто­ тически устойчиво. В связи с этим будем считать, что в случае (6.3) попадание также имеет место, так как из

этого условия, так же как и из условия (6.2), следует асимптотическая устойчивость системы с переменной структурой (5.1).

Таким образом, если плоскость скольжения характе­ ризуется асимптотически устойчивым движением в сколь­ зящем режиме, то для асимптотической устойчивости

системы следует выбрать такое управление, при котором выполняется одно из условий (6.2) или (6.3). Ниже будут рассмотрены условия попадания для различных типов разрывных систем, состоящих из набора линейных струк­ тур с постоянными параметрами.

§ 2. Необходимые условия попадания

Рассмотрим необходимые условия попадания системы (5.1), (5.6), состоящей из 2к линейных структур с постоян­ ными коэффициентами, в которой изменение структуры про­ исходит на плоскости s = О (II.V) и координатных плос­ костях Xi = 0 (г = 1, . . ., к).

Задача состоит в определении таких параметров уп­ равления, для которых при начальных условиях (6.1) выполняется хотя бы одно из условий (6.2) или (6.3).

Так как до момента попадания величина s не меняет шака, то функция б„ в управлении (5.6) является посто­ янной величиной, равной 60 или — б0, и в любой момент

подстановки управления (5.6) при каких-либо фиксиро­ ванных значениях всех Т г (ос£ или (Зг) в уравнение (5.1)

находящихся в ее окрестности линейных структур. Так как на плоскостях xt = 0 [i = 1, . . . , к) управление и не претерпевает разрывов (несмотря на разрывы коэф­ фициентов *Р;) и эти плоскости не содержат целых траек­ торий, то движение изображающей точки по любой из

возникнуть. Это означает, что точки, в которых изменя­ ется структура системы на плоскостях x t= 0 (г= 1, . . . , к), составляют множество нулевой меры и па движение в си­ стеме они пе влияют. Высказанные здесь соображения означают, что исследование поведения системы до момента попадания может быть проведено лишь на основе урав­