Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

В этом параграфе мы ограничились липгь описанием формальных процедур получения уравнений скольжения, умышленно оставляя в стороне вопрос об их сопоставле­ нии. К этому вопросу мы вернемся в разделе I, в котором, исходя из физических соображений, с помогдыо предель­ ных переходов будет показано, что в разрывных системах с линейным вхождением управления (а система (1.11) является таковой) уравнения скольжения при любом способе доопределения должны совпадать.

§ 5. Предельные переходы для обоснования уравнений скольжения

Все приведенные выше методы получения уравнений скольжения носили аксиоматический характер, и для того чтобы убедиться в правомерности использования этих уравнений для исследования реальных систем управ­ ления, необходимо проделать предельные переходы, о ко­ торых шла речь в § 2. Для устранения неоднозначности поведения системы па границе разрыва следует учесть различные неидеальности, которые всегда в ней присут­ ствуют и которые приводят к возникновению реального скользящего режима. Уравнения идеального скольжения могут быть получены при стремлении неидеальиостей к нулю.

Далее мы порознь рассмотрим три конкретных вида неидеальностей и покажем, что при введении каждой из них в систему (1.8) с последующим стремлением к нулю предель­ ные уравнения совпадают с уравнениями, к которым при­ водит доопределение Филиппова. По-видимому, это об­ стоятельство является одной из причин широкого исполь­ зования доопределения Филиппова для исследования систем автоматического управления сj разрывными управляющими воздействиями.

Здесь оговоримся, что все дальнейшие рассуждения будут носить качественный характер. Идея предельных переходов состоит в определении средней скорости движе­ ния изображающей точки в окрестности некоторой точки на границе разрыва и в осуществлении предельного пере­ хода, который предполагает стремление этой окрестности к нулю. В достаточно малой окрестности рассматриваемой дочки векторы фазовой скорости и градиента к поверхно­

сти разрыва будем считать постоянными. В этом и будет заключаться элемент нестрогости последующих рассуж­ дений.

а) Неидеальность типа гистерезис. Предположим, что переключающее устройство, которое осуществляет скач­ кообразное изменение величины управления, обладает гистерезисом. Тогда функция и в уравнении (1.8) будет иметь вид

По-прежнему будем считать, что в идеальной системе (при А = 0) выполняются условия скользящего режима (1.9), т. е. в окрестности поверхности разрыва s (х) = 0 фазовые траектории направлены навстречу друг другу. Наличие гистерезиса при­ водит к тому, что после попадания на поверхность

разрыва изображающая s=0 точка уже не будет дви­ гаться точно вдоль поверх­ ности,' а будет совершать колебания в ее окрестно­

сти шириной 2А (рис. 7). Для определения средней ско­ рости, соответствующей этому движению, найдем пред­ варительно перемещение изображающей точки Ах на двух соседних интервалах — на первом из них и равно и~, а на втором ц+:

_ где Afx и At2 — продолжительности этих интервалов. Ве­ личины Atx и At2 находятся из соотношений

Из уравнений (1.14), (1.15) определяем среднюю скорость

32 ВВЕДЕНИИ [ГЛ. I

Непосредственно из сопоставления (1.10) и (1.16) следует, что вычисленный таким образом вектор фазовой скорости совпадает с вектором фазовой скорости, полученным с по­ мощью доопределения Филиппова.

б) Неидеалыюсть типа запаздывание. Предположим, что переключающее устройство осуществляет скачкооб­ разное изменение функции управления не в моменты изме­ нения знака величины s, а с некоторым запаздыванием во

движется к поверхности разрыва s = 0 (точка 3), а пе­ реключение с и+ на и~ происходит спустя время т (в точ­ ке 4). Затем вновь возникает движение с фазовой ско­ ростью / - , которое через время At2приводит к попаданию на поверхность разрыва (в точке 5). Для определения средней скорости вычислим величину перемещения Ах (вектор 1—5 на рис. 8) и интервалы Д£х и Дt2:

Полученные значения позволяют найти среднюю скорость'

Как следует из сопоставления (1.10) и (1.17), и в этом слу­ чае получаем то же уравнение, к которому приводит ме­ тод Филиппова.

формирования поверхности разрыва. Это означает, что вся система в целом содержит некоторую дополнительную динамическую подсистему, состояние которой характе­ ризуется некоторым выходным вектором состояния у, например, размерности т) с вектором х на входе:

где А и Н — постоянные матрицы размерности т X т и т X п, собственные числа матрицы А имеют отрицатель­ ные действительные части, т — достаточно малая поло­ жительная величина, характеризующая «темп движения» дополнительной динамической подсистемы. Из-за наличия неидеальностей в каналах измерения вместо вектора х для формирования функции управления (1.18) будет исполь­ зоваться некоторый гс-мерный вектор х*, составленный из всех или из части компонент вектора у:

Л — постоянная матрица размерности п X т,

и соответственно уравнение поверхности разрыва вместо (1.18) будет иметь вид

Мы рассматриваем здесь неидеальиости лишь динамиче­ ского типа, и следовательно, в статическом режиме век­ тор а: должен измеряться без искажений. Из (1.19) — (1-21) получаем условие равенства векторов х и х* в статическом режиме, которому должны удовлетворять матрицы И, Л" и Л:

(матрица И-1 существует, так как матрица А не имеет ну­ левых корней). Таким образом, поведение системы опи­ сывается уравнениями (1.19) — (1.22) вместе с уравнением

же как и при изучении систем с гистерезисом и запазды­ ванием, будем считать постоянными.