Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 3
5 2] ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ 237
экстремум, в которой нарушается |
условие (12.5), т. е. |
|
A IS - |
< р - |
(12.8) |
ах |
|
|
’ Условие (12.5) выделяет область, |
в которой движение |
|
к экстремуму всегда осуществляется с постоянной скоро стью. Методом принасовы-
вания можно доказать, что +н |
, |
й |
после достижения области |
1 |
|
Е в окрестности экстрему |
|
|
ма, определяемой неравен |
|
|
ством (12.8), оптимизируе |
|
|
мая величина у продол |
|
- 1 |
• |
||||
жает убывать |
в |
колеба |
ft |
_ |
|||
тельном |
режиме, |
причем |
. Т |
||||
|
|||||||
скорость |
этого |
движения |
|
-Hi |
|||
постепенно уменьшается, |
|
л Д, |
у |
||||
а максимальное |
|
значение |
|
|
|
||
у после окончания пере |
Рис. |
18. |
|
||||
ходного процесса не прево |
|
|
|
||||
сходит величины ут1п + Д. |
|
|
|
||||
Рассмотрим движение системы в области Е. При движении в этой |
|||||||
области для V— 0 |
|
справедливо неравенство е = |
— Р ± |
< 0. |
|||
Таким образом, независимо от того, |
какая из величин при движе |
||||||
нии в скользящем режиме (s: или s2) равнялась нулю, изображающая точка при дальнейшем движении достигнет точки s2 = — Д; при этом
согласно (12.7) сигнал v мгновенно |
восстановит условие |
« = -+- Д |
|||
и, следовательно, возникнут колебания. |
При движении в интервале |
||||
О ^ Ч ^ Л выходная величина объекта у возрастает при |
df |
||||
< 0 |
|||||
и убывает при |
df |
|
|
|
|
> 0 на величину |
|
|
|
||
|
= |
\ { ~ A |
^ ) |
dh |
<12-9) |
|
|
о |
|
|
|
а при движении в интервале — Д < |
s2 < |
0 величина у убывает при |
|||
df < 0 и возрастает при |
df > 0п на величину |
|
|||
dt, |
(12.10) |
238 ПРИМЕНЕНИЕ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ [ г л . X II
где Tj и тг — времена движения в этих интервалах, определяемые из уравнений
о
|
Д = ^ |
(р + A^jdt. |
(12.12) |
||
|
о |
|
|
|
|
Из выражений (12.11) |
и (12.12) |
непосредственно |
видно, что |
||
df |
■< 0 и Tj > т.2 при |
df |
0. Изменение выходной вели |
||
Tj < т2 при |
> |
||||
чины объекта у за цикл колебания Tj |
тг согласно (12.9), (12.10) |
||||
вычисляется |
в соответствии |
с выражениями |
|
||
т2—т,
Ат/ = — |
dt |
при |
|
0 |
|
|
Vj-T, |
|
Ау = — |
dt |
при |
|
0 |
|
|
о V |
|
а-S']- |
о А |
(12.13)
(12.14)
Из (12.13), (12.14) следует, что выходная координата объекта в области Е убывает в колебательном режиме. После достижения экстремума колебания в системе сохраняются, а точность системы оценивается величиной возрастания Ду во время этих колебаний.
Согласно выражениям (12.11) |
или (12.12) |
Ду = |
dt = |
=Д — pxi или соответственно Ду = |
dj_ |
dt = Д — рта, |
т. е. п о- |
dx |
|||
|
о |
|
|
грешность поиска заведомо не превосходит величину Д. Уместно от метить, что погрешность поиска близка к нулю, если в Д-окрестности
экстремума величину-^- можно приближенно считать равной нулю.
Вычислим среднюю скорость приближения входной координа ты к экстремальной точке в области Е. Для этого предположим, что
величина Д достаточно мала, т. е. изменением-^- за цикл колебания41
Ti |
+ |
тг можно пренебречь. Тогда |
из (12.11) и (12.12) следует, что |
||||
Ti |
= |
Д/р— A |
df |
Д/р + A |
df |
|
|
п Тг = |
Модуль средней скорости оп |
||||||
ределяется выражением |
|
|
df |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ^ср I |
|Ti — та | = А- |
dx <А. |
(12.15) |
|
|
|
|
Т1 + Т2 |
|
|
|
|
§ 2] |
ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ |
239 |
В заключение целесообразно отметить основное разли чие описанной системы поиска экстремума от других ши роко распространенных релейных систем оптимизации ^достаточно подробно эти системы описаны в [77]).
Обычно в релейных экстремальных системах осущест вляется измерение производных экстремальной характери стики, которые определяют направление движения к экстре муму, а само движение организуется с помощью релейных воздействий, сформированных на основе этой информации. Необходимость измерения связана с введением в систему дифференцирующих устройств, либо устройств для подачи пробных воздействий на вход объекта и анализа их реак ции на выходе (например, либо измерение отношения про изводных входного и выходного сигналов, либо знаков этих величин, либо фазы для периодических сигналов
ит. д.).
Воснове описанного здесь метода решения задачи оптимизации лежит принцип построения системы, способ ной управлять объектом со знакопеременным и неизвест ным коэффициентом усиле ния (производная экстрема льной характеристики и иг
рает роль этого коэффициен та), и затем с помощью такой системы выходная величина объекта уменьшается до ми нимально возможного значе ния. Идею работы такой сис темы можно пояснить следую щим образом. Пусть разрыв ное управление (рис. 17) при-
бли5кенпо реализовано с помощью усилителей с большим коэффициентом усиления и насыщением и поэтому являет с я непрерывной функцией ошибки е, представленной на рис. 19. Такая характеристика имеет два наклонных участ ка с большими по абсолютной величине и разными по знаку угловыми коэффициентами. Очевидно, что при любомзнаке коэффициента усиления объекта, один из этих коэф фициентов соответствует устойчивой системе, а другой — неустойчивой. Начальные условия подбираются таким образом, чтобы величина ошибки е находилась на сред-
240 |
ПРИМЕНЕНИЕ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ |
[ГЛ. XII |
нем участке характеристики (рис. 19). После этого система автоматически переходит на тот наклонный участок, который соответствует устойчивости. При достаточно боль шом коэффициенте наклона этого участка обеспечивается высококачественное слежение выходной величины за моно-"4 тонно убывающим задающим воздействием (рис. 16), в результате чего и обеспечивается движение к экстремуму. Такой подход позволяет избавиться от измерения ка ких-либо характеристик объекта и избежать колебаний, вызванных пробными сигналами. Разумеется, высоко частотные колебания во время скользящего режима нель зя рассматривать как пробные, так как они обусловле ны лишь тем, что переключающие элементы не могут быть реализованы идеально, а при реализации управления с помощью непрерывной характеристики (рис. 19) эти ко
лебания вообще отсутствуют.
§ 3. Одномерная оптимизация с переменной скоростью поиска
Как известно, помимо ошибки поиска одним из наибо лее существенных показателей любой экстремальной си стемы является время нахождения экстремума. Очевидно, что вопрос о быстродействии тесно связан с наличием огра ничений на управляющее воздействие. Так, например, если в рассмотренной ранее системе управление не огра ничено, то можно добиться любого быстродействия, выби рая соответствующим образом величину р — скорость приближения выходной величины к экстремуму. Если же на управление наложено ограничение вида
|в | < Во, |
(12.16) |
то в рассматриваемой системе движение к экстремуму будет осуществляться заведомо не с максимальной ско ростью. Действительно, максимальная скорость измене-**, ния входной величины равна и0. С другой стороны, при движении системы в скользящем режиме, когда у = g = = — р, в силу неравенства (12.5) имеем
df < А ^ и 0. |
(12.17) |
dx |
|
§ 3] |
ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ |
241 |
Движение системы в области Е, определяемой услови ем (12.8), имеет колебательный характер, и согласно (12.15) средняя скорость изменения входной величины в этой области оценивается неравенством
df
|*ср | = л ------- — < А < Ц 0- |
(12.18) |
г |
|
Непосредственно из сопоставления (12.17) и (12.18) видно, что попытка ускорить процесс поиска за счет увеличения скорости изменения задающего воздействия р не приведет к желаемым результатам, так как, во-первых, согласно (12.18) замедляется скорость сходимости процес са поиска в области Е, и, во-вторых, с ростом р увеличи вается сама область Е. В связи с этим возникает задача построения такой системы, в которой без непосредственного измерения величины df/dx скорость изменения задающего воздействия р выбирается близкой к максимально возмож ной скорости выходной величины объекта, равной \dfjdx\ и0. В такой системе при возникновении скользящего режима'Дэудет обеспечено монотонное движение к экстремуму со скоростью, близкой к максимальной. Для получения системы с таким свойством выберем величину А равной и0, а задающее воздействие g (t), в отличие от системы (12.3),— зависящим от функции управления следующим образом:
(12.19)
где Ро — const, ро > 0, а иср — среднее значение управле ния, о котором шла речь в § 6 главы II и которое может быть получено с помощью инерционного звена с достаточ но малой постоянной времени т. Поясним, каким образом осуществляется поиск экстремума в системе (12.3) со ско ростью задающего воздействия, изменяющейся в соответвии с (12.19). При отсутствии скользящего режима управ ление и равно и0 или — и0, знак иср совпадает со знаком и*) и, следовательно, скорость задающего воздействия р
*) Знаки иср и и совпадают, если постоянная времени %доста точно мала и можно пренебречь собственным движением фильтра.
9 В, И. Уткин