Файл: Судовые системы автоматического контроля (системный подход к проектированию)..pdf

был признан вариант II, который имеет лучший показатель х6.

Этот вариант был принят к дальнейшей разработке.

Рассмотренные методы позволяют вместо сравнения векторов X

производить последовательное сравнение одноименных показателей

системы, которые являются скалярными величинами.

Другим методом перехода от векторной величины к скалярной является использование нормы вектора. Предположим, что степень

влияния каждого из показателей системы на ее эффективность можно

Рассмотрим вопросы выбора значения коэффициента р в этом выражении. Будем считать весовые коэффициенты рг случайными

величинами, имеющими среднее значение ц,- и функцию распределе­ ния / (р;). Тогда среднее значение нормы вектора X будет равно

Одним из требований к функционалу, принимаемому в качестве

критерия, является наличие минимальной дисперсии. Рассмотрим в связи с этим максимальную вариацию нормы (2.3.5) при измене­

нии Ц;. Максимальная вариация, очевидно, будет иметь место при

максимальной вариации всех цг, i — 1, 2, . . ., т и соблюдении условия нормировки

т

Известно, что для вариаций такого вида минимум достигается

при р = 1 [44].

Таким образом, в качестве скалярной величины, которую можно использовать для оценки эффективности САК по совокупности ее

показателей, следует принять октаэдрическую норму вектора X

тт

Входящие в выражение (2.3.8) показатели системы xt имеют раз­ ные размерности или масштабы, что затрудняет его использование.

В связи с этим необходимо ввести в рассмотрение некоторую функ­ цию L (Xi), с помощью которой все показатели системы преобразуются

63

цию L (х^ функцией полезности параметра хс.

Под полезностью обычно подразумевают одну из важнейших

категорий, отражающую ценностный аспект принимаемых решений. С помощью этой категории можно оценивать и сопоставлять различ­ ные решения и действия. Полезность принимаемых решений и совер­ шаемых действий формализуется заданием полезности как функции этих решений или действий, т. е. в виде функций полезности, причем

функции полезности не обязательно должны отражать какое-либо

реальное содержание.

Понятие полезности было введено в теорию игр [62]. Там же

доказано существование такой функции L, отображающей множество

всех решений в вещественные числа, что для любых двух решений А

и В и любого р £ [0,1], L (Л) > L (В) тогда, и только тогда, когда А предпочтительнее В, причем

L 1цА + (1 — р) В } = pL (Л) + (1 — р) L (В).

Функция L единственна с точностью до линейного преобразо­

вания.

Таким образом, можно утверждать, что для каждого показателя системы.xt существует функция полезности L {xt). Существует такая

функция L (и) и для каждого варианта системы, причем

В этом выражении весовые коэффициенты pt. характеризуют соот­ ношение между показателями xL по их вкладу в общую полезность варианта L {и), а функции полезности отдельных показателей L(x{) измеряются по одной шкале 0 < L (х£) < G (обычно G = 1).

На использовании выражения (2.3.9) основан метод аддитивной полезности. При этом следует учитывать, что все слагаемые должны отвечать требованиям аддитивности, которые выражаются следую­ щей системой аксиом:

Требование аддитивности накладывает ряд ограничений на учи­ тываемые в выражении (2.3.9) показатели системы. Во-первых, они

должны быть независимы в смысле полезности. Выполнение этого требования не всегда очевидно. Бесспорным признаком удовлетворе­ ния такому требованию является возможность оценки относитель­ ной важности р(. любого показателя при постоянных значениях всех

64

остальных, причем оценка не должна зависеть от взятых в отдель­ ности значений других показателей.

Во-вторых, функции полезности всех показателей должны быть непротиворечивы. Это означает, что при улучшении показателей xt все L (xt) должны изменяться в одном направлении. В случае воз­ растания L (х;) при улучшении показателей предпочтительным будет вариант с наибольшим значением L (и), и наоборот.

Таким образом, введя весовые коэффициенты, характеризующие важность каждого показателя САК, и функции полезности значений этих показателей, можно перейти от векторной оценки системы к ска­ лярной, учитывающей совокупность показателей САК и допускаю­ щей сравнение вариантов системы. Применение того или иного из рассмотренных методов оценки вариантов системы зависит от имею­

щейся информации о значениях показателей сравниваемых вариан­

тов, возможности оценить их важность, количества вариантов, раз­

личия в значениях показателей и пр.

§ 2,4

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ САК

В предыдущем параграфе указывалось, что функция полезности

для каждого значения показателя х( является единственной, с точ­

ностью до линейного преобразования, т. е.

L (х{) = aL (xt) + р, а > 0 .

Следовательно, применяя различные методы определения функции

полезности, можно получить и разные оценки полезности при одном и том же значении xt. При использовании метода аддитивной полез­

ности при сравнении вариантов для устранения методической ошибки в оценке L (и) необходимо пользоваться одним каким-либо способом определения полезностей всех показателей.

Методы построения функций полезности весьма разнообразны. Применение того или иного метода определяется имеющейся инфор­

мацией, способом задания значений показателей, опытом специа­

листа. Одним из общих методов построения функции полезности является метод средней точки [105, 108].

Пусть для показателя х имеются минимальное а и максимальное b

допустимые значения. Эксперт, занимающийся построением функ­ ции полезности, находит такое значение с показателя х, при котором полезность его L (с) равна

(2.4.1)

Далее определяется значение d с полезностью

значение е, полезность которого

Ь{е)=1ы ц т

и т. д.

Другой, иногда более удобный, способ построения функции

полезности состоит в том, что эксперта просят последовательно

L (Ь) — L (а) = 2 [L (с) — L (а)}

и задавшись полезностями значений а и Ь, можно легко найти по­

Для судовых систем часто можно применять более простой спо­ соб построения функции полезности, свободной от субъективных оценок экспертов. Предпосылкой для использования такого метода является то обстоятельство, что пределы возможного изменения

случае можно считать функцию полезности линейной. Тогда для определения полезности значения показателя х можно использо­ вать выражение

где х — полученное значение параметра, а хп— максимально воз­ можное (предельное) его значение.

Однако при использовании выражения (2.4.2) следует учитывать ряд обстоятельств. Во-первых, определить значение хп обычно

66

весьма трудно и для разных показателей это может быть сделано далеко не с равной точностью. Во-вторых, обычно разработчика системы интересует не полезность абсолютного значения показателя, а полезность его улучшения относительно требований ТЗ. И в-третьих, все показатели должны быть непротиворечивы с точки зрения их полезности. В связи с последним показатели системы сле­ дует разделить на две группы. Первую составят показатели, для которых повышение численного значения вызывает увеличение полезности, т. е. L (х) > L (х0), если х > • х 0. Такие показатели будем

называть «улучшающими», так как их повышение улучшает систему. К ним относятся вероятность и продолжительность безотказной

работы, коэффициент готовности, полнота и достоверность контроля,

универсальность, живучесть и т. д.

Для показателей второй группы увеличение полезности связано

рост их значений ухудшает систему. К ним относятся время восста­ новления, вероятность отказа, масса, габариты, загрузка операторов и т. д.

Исходя из линейности функции полезности и учитывая указанные обстоятельства, для определения полезности значения параметров

сравниваемых вариантов системы целесообразно использовать вы­

ражения

max х{ (и) и min х (- (и) — соответственно максимальное и минималь­ ное значения оценки г'-го показателя в сравниваемых вариантах си­ стемы Mg U\ x 0i — значение i-ro показателя, заданное в ТЗ.

Выражение (2.4.3) применяется для «улучшающих», а (2.4.4) — для «ухудшающих» показателей.

Если в примере, рассмотренном выше, х 0 = 3 м3, и имеются три варианта системы ил, м2, ы3, в которых объем аппаратуры равен соот­ ветственно х (Uj) = 2,8 м3, х (м2) = 1,9 м3 и х (м3) = 2,5 м3, то по­ лезности этих значений определяются по выражению (2.4.4):

=-O -lS;

L [ x { u , ) ] =|^ Ц - = 1,°;

L [х (м3)] = з __ д’д- = 0,45.

При определении значений полезности по графику рис. 2.3 ре­ зультаты получаются примерно одинаковые.