Файл: Альбедо нейтронов..pdf

к ак вариации состава материалов

в какойлибо

точке

защиты,

так и неодномерность альбедных задач типа

/.

В

качестве

исходной

далее

принимается

многогрупповая

формулировка кинетического

уравнения:

QV<D'(r,

О) -!- 2 " ( г ) Ф " ( г , Й) =

В" (г,

Й),

р =

1, 2

& ; ]

ФР (г, Q)

| ѵ

= Ф £ а д

(г,

Й) +

(5"-" (г)

X

1(2.12)

X Ф» (г,

—Q)

+ J Ф» (г,

й') S"-'" (г,

Q,

Q')

dQ',

Üa> О

где

5"

(г,

О) =

Ц Ф " (г,

Й') У Г "

(г, й Я') dQ'}

+

QP (Г,

Й);

ф р ( г , Q ) — д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы й

угловой

поток

нейтронов

в

ин­

тервале энергии АЕР=[ЕР,

£;>-і]

(в р-й

группе)

в точке г в на­

правлении Q; ?Р — полное сечение столкновений

нейтронов

p-ïi

группы

с

я д р а м и среды в

точке

г; 2qs^p

(г,

QQ')

— сечение

рас­

сеяния

в

точке

г на угол arecos до

(ио = й й ' )

с

переходом

из

энергетического

интервала

АЕЧ

в

АЕР;

?Р—полное

число

энер­

гетических

групп;

Si~*P(r,

Й,

й ' ) — д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е

спект­

ральное потоковое альбедо*, определяющее внутреннее

д и ф ф у з ­

ное отражение; S<i"p(r)—«зеркальное»

альбедо.

Методика

по­

лучения

систем

многогрупповых

уравнений

и

групповых

кон­

стант в применении к расчету защиты развита

во многих

рабо­

тах

[см.,

например,

( 4 — 7 ) ] .

В

применении к

расчету

альбедо

основанным

на использовании

уравнения

переноса,

посвящен

раздел

2.4.

коэффициентах S'J , 2%~*р,

S<I~P И функциях

При

заданных

QP, Ф £ а

д

система

уравнений

(2.12)

решается

последовательно,

начиная с / 7 = 1 . Способы решения уравнения

д л я

одной

группы

при заданном потоке внешнего излучения и

5 р

^ р = 0

хорошо

известны

[7, 8 ] . В

з а д а ч а х

с общим

краевым

условием

вида

фР (г,

й) I

=

о * ( Г )

й)

+

J Ф р (г, Û') ST*P (г, Й,

Й') X

7

—

Пп>0

XdQ'

+ Ф (г,

—Й) S"~p

(г)

(2.13)

Й Ѵ Ф к + 1

+ 2 ( г ) Ф к + 1

= В к ;

*

Величине S»- *'' (г, й ,

й') отвечает

введенное в главе I альбедо

АС(ЕВ,

Ѳ0; Е., Ѳ, ф).

где В,, и Ф к , пад определяются

известным к-м приближением

Ф к п о ф о р м у л а м

Вк = J Ф к (г,

й') V , (г,

QQ') dOJ

;.- Q (г,

Q); )

Фк, ппд =

Ф п а д "Г S (Г) Ф,; (Г,

— Й )

+

(2.15)

[помер группы р в соотношениях

(2.14), (2.15)

о п у щ е н ] .

При отсутствии

размножения

нейтронов

в

«отражателе»,

т. е. при

1'

S (г, Й,

Й и ) Л Л

<

1,

(2.16)

ü»nr-0

и в рассматриваемом

объеме, т. е. при

j ' S , ( r , ß ß ' ) d Ö < 2 ( r ) ,

(2.17)

итерационный

процесс (2.14) — (2.15)

сходится,

если

только

хотя

бы в одном из условий

(2.16) — (2.17)

имеет место

строгое не­

равенство

в

некоторой

части Ѵ0

объема

V или

части

граничной

поверхности

Г, т. е. есть поглощение

нейтронов

рассматривае ­

мого энергетического интервала

в

Ѵ0

или о т р а ж а т е л е

[ 2 ] . При

уменьшении роли такого поглощения сходимость

итерационного

процесса

ухудшается .

В этом

случае

используются

специаль­

ные приемы

ускорения

сходимости

[ 9 ] .

Рассмотрим теперь сопряженные краевые задачи

с

условия­

ми отражения . По д сопряженным оператором отражения R*

будем понимать интегральный оператор, определяемый

равен­

ством

R*W (г„,

й 0 ,

Е) = ï dy (г)

f

I ѵЙ I dQ {dE

X

V

v(r),/ß<0

Х»Я

(г,

О, Е; г0 ,

Й0 ,

Е0) Чг (г, Й,

Е).

(2.18)

Очевидно, что

\

dy (г)

J

I ѵй

I dQ f dER [Ф] (г,

Й, Е) Чг

(г,

Й,

Е)

=

V

Vß<0

= .f dy (г,,)

f

(ѵй0 ) rfQ0

J <Ш0Ф ( Г П > Й 0 , £„) £ * [Ï'I (r„,

Й 0

І £ 0 ) .

(2.19)

Пусть Ф — решение прямой задачи дл я

области V с границей у,

на которой з а д а н о

альбедо

R и внешнее

излучение Ф<>:

£ ф = Й Ѵ Ф +

2 (г) Ф (г, Й, Е) — J dE'

f dQ'S, (г, £ '

-»•

->

£ ,

Й Й ' ) Ф ( г , Й',

£ ; ) =

Q(r, Q, £ ) ;

(2.20)

Ф lv_ -

Л [Ф

| ѵ + ]

+

Ф„.

(2.21)

2 * Ф * =

_ Q у Ф * + 2 (г) Ф* (г, Й, £ )

— j dE' J d f i ' 2 ,

(r,

E

->

-> £ ' , ЙЙ')Ф*(г,

fi', £ ' ) =

G(r,

Q,

£ ) ;

(2.22)

Ф* | v + =

R* [Ф* lv_] + Ф о -

(2 - 2 3 )

Здесь G — «источник» сопряженной

задачи . В

частности,

в аль-

бедных з а д а ч а х выражение

этого

источника

имеет

следующий

вид:

а) при определении интенсивности потока отраженных

нейт­

ронов энергии Е в направлении

£У в точке

г ѵ

G (г, Й, Е) =

8 (г — r v ) ô (Q — Q') ß (E — E');

(2.24)

б) при

определении

интенсивности

тока

нейтронов

энергии

£ ' в направлении

Q' в точке г у

G (г, Й, £ ) =

б (г — Ту) ô ( £ — £ ' ) Йо (Й — Q');

(2.25)

в) при определении численного дифференциального

углового

токового альбедо

нейтронов в направлении

Q'

G (г, Й, £ ) =

Ô (г — гѵ ) й' б (й — Й');

(2.26)

г) при определении

дозового токового

альбедо

нейтронов

G (г, Й, £) =

6 (г — гѵ ) ЙО (£).

(2.27)

Так

как

интеграл

ffJ Q v

(G)0*)drdQdE

равен

разности

j d y f

àE

j

ѵЙФФ*сЮ — l'dy

J dE

j

| vfi | Ф Ф Ѵ Й и при

выполне-

ѵП>0

ѵ й>0

нии

соотношения

(2.19)

и

при

краевых

условиях

(2.21),

(2.23)

он о б р а щ а е т с я

в

разность

Idy^dE

Г

ѵЙФОФ^Й — Jdv {dE

j

( ѵЙ | Ф0 Ф*гій,

(2.28)

ѵ й> 0

"

vQ<0

то справедливо

равенство,

с в я з ы в а ю щ е е

функционалы

прямой

и сопряженной

задач:

j d r

j d £ J d Q G ( r , Й,

£ ) Ф ( г ,

Й, E)-\-]dy\dE

j

d Q ( v ß ) X

flv>0

Х Ф ; ( г , Й, £ ) = J d r J d £ J d ß Q ( r , Й, £ ) Ф * ( г , й , £ ) +

-Ь J

J d £ j " I ѵЙ I Ф 0

(г, Й, £ ) Ф* (г, Й, £ ) d ß .

(2.29)

ѵ й< 0

П о л а г а я

здесь

Ф о = 0 или

G = 0,

получим

отсюда

в ы р а ж е н и я

для объемных ил.и поверхностных функционалов решения

пря­

мой задачи, понимая в правой

части под Ф* решение

соответст­

вующей

сопряженной задачи .

Эти выражения

совпадают

с

упо­

роль ценности нейтронов источников

и в рассматриваемых

здесь

з а д а ч а х .

В многогрупповом

приближении

соотношения (2.19),

(2.29)

т а к ж е справедливы,

если

интегрирование по

энергии заменено

суммированием по энергетическим группам.

Решение сопряженных

уравнений

можно

использовать при

небольших

изменениях состава

или размеров

среды, например,

при замене

среды в каком - либо

объеме ДѴ

рассматриваемой

J =

\ dV $ dE § dQO (г,

Й,

Е) G (г,

Q,

Е) =

=

j dV j dE J dP-Ф* (г,

Й,

Е) Q (г,

Й,

Е),

(2.30)

можно записать следующим

образом [10]:

07

— \ dV j dE

j ' dQO* ОХФ.

(2.31)

дѴ

Здесь

ôL — возмущение

оператора

уравнения

переноса,

выра ­

ж а ю щ е е с я

в изменении

сечений взаимодействия

<^

со

ÔL =

öS (г) — j dQJ [ dE'Ô2s

(г, Е' -> Е, ц,),

(2.32)

Е

где öS

и

б2„ — изменения

сечений.

Подставив

эту формулу в

в ы р а ж е н и е (2.31),

получим

формулу

теории

возмущений

в виде

О У ^ -

J

dV\dfjdQï*

02Ф

—

дѵ

о

— J W

)' dE'62s(E'^E,

и,)Ф(г,

Q',

Е)

(2.33)

Е

где u s

= QQ'.

Применение

формулы (2.33) особенно

перспективно

при вы­

громоздких расчетов для неодномерных задач можно

достаточ­

но просто оценить влияние тех или иных изменений

конструк­

ции,