Файл: Альбедо нейтронов..pdf

К этому простому случаю могут

быть сведены некоторые

проблемы расчета альбедо тепловых

нейтронов. Т а к а я з а д а ч а

деле мы приведем ее

решение, данное Ч а н д р а с е к а р о м [11] .

Обозначим через

U(z, ц) вероятность того, что нейтрон

пло­

ского изотропного источника, находящегося на глубине г

в по­

лубесконечной среде

(рис. 2.2), выйдет через поверхность

в

на-

правлении, составляющем

угол 0 = arccosu с внешней

нормалью

к поверхности.

Очевидно, вероятность

а ( ц о - ^ ц )

нейтрону,

вошедшему

в по­

лубесконечную

среду под

углом

0o = arccos ц 0

к внешней

норма­

ли

( O ^ u - o ^ l ) ,

выйти

из

среды

в

направлении 0 = arccos u

связана с U(z,

ц)

соотношением

а

(ц0 - у ц) = fzjU

(zu0 ,

u) е - * dz,

(2.34)

b

где S, и S есть макроскопические сечения рассеяния и полное

сечение соответственно. З а м е т и м ,

что

дифференциальное

токо­

вое

альбедо а (до,

и ) *

отличается

от

а(ио-»-ц)

только

множите ­

лем

2 л:

« 0*о -»• Ц) =

2яа (Дц, и).

(2.35)

К р о м е того, из

в ы р а ж е н и я

(2.3.4)

следует

а ( ц 0

- > ^ ) = ^ - ( 7 ( 2 / и 0 ) ц),

(2.36)

Mo

где

0{р,

и)

есть одностороннее

преобразование Л а п л а с а

функ­

ции

U(z,

ц) :

U(p, ц) = Je-p*U(z, ц) dz.

Д о б а в л я я

к

рассеивающему

полупространству

слой

толщи­

ной

dz с

теми

ж е свойствами

и замечая,

что

вероятность

U(z-\-dz,

ц)гіц

слагается из

вероятности

U(z,

ц ) ( 1 — е

)

dU (г, ц) = -

S t / ( г , ц)

U (г, ц')

ф '

(2.37)

dz

ii

Д л я

одностороннего

преобразования Л а п л а с а

£/(/.?,

ц) функции

С(2,

ц) получим из уравнения

(2.37):

U (0, Li)

где

(2.38)

Из этих соотношений легко получить

1

5 ( Р ) =

'

о

и с учетом соотношения

(2.36)

« Ö*o ~* И) =

" Y

(7 (0, Li)

(2.39)

(1 +

I

Sv

f £/ (0, Li')

S

.) 1 +

(«-'/Me

З а м е ч а я , что

1

1 I

^ ( ° .

Li) =

- r +

T " l a ( f J » " > f i ) d f X °

где X = 2,,/Е

и

U (О, 1 ( ) =

!

. (2.40)

1

(1 -Ь Мп |0

1 - х

Г IU (0,

а')

du/

о'

/

Легко

проверить,

что

это последнее уравнение суть первая-

итерация

следующего

нелинейного

уравнения:

U (О, М ) ^ 1 — X j ^

/

W

^

1/2.

(2.41)

С учетом

уравнения

(2.41)

для а ( ц о - п 0

получим

,

.

2y.il (0,

и) (У (0, LI0 )

•

/

0

. Л .

а ( И о - ^ И )

=

.

,

(2-42)

Уравнение

(2.41)

легко

решается

методом

последовательных

приближений . Значения функции

H(х,

р.) = 2 (7(0,

ц) приведены

в табл . 3.1.

П о л н а я вероятность

о т р а ж е н и я а((.і0 ),

я в л я ю щ а я с я

инте­

гральным

токовым

альбедо,

получается

интегрированием

сс([.1о-э-и)

по р,:

а (Ио) =

1 — 1/1 — « Я (х, р 0 ) .

тов имеется

в

книге [17], мы

ограничиваемся

описанием видо­

изменения,

связанного с

различием между переносом нейтронов

и ^-излучения.

Рассмотрим б л у ж д а н и е реальной частицы (Y-квантов или

нейтронов)

в

веществе.

Пусть

хп—(гп,

П„,

Еп) есть соответ­

жения и энергия после /г-го

рассеяния. Траектория

(«история»)

частицы

полностью

характеризуется

заданием

последовательно­

сти

А'О, х\,

хі, где

/ — полное число рассеяний

(при

этом

х0=

= (г0 , По, Ей) характеризует

нейтрон

источника) .

Последова ­

тельность

{.V,,}

является цепью М а р к о в а со

случайной

длиной /

в пространстве

переменных

/ ? = ( г , П, Е)

и с переходной

вероят­

ностью К{х'->-х).

Функция К(х'^>~х)

служит

ядром

общего

инте­

грального

уравнения

переноса

Ч> (X) =

гР і (X) +

.f я|> (X') К (X' ~> X) dx'

(2.43)

(Я)

для

плотности

рассеяний

ty(x)dx=\\>(rt

П,

E)dVdQdE,

равной

числу

рассеивающихся

нейтронов

в

единицу

времени

в

элемен­

те

dV

объема

около

г,

имеющих

направление

и

энергию

в ин­

т е р в а л а х

dn

и

dE

около П

и Е

соответственно.

В

уравнении

(2.43)

i^i (х)

есть плотность

первых

рассеяний

нейтронов.

Применение метода Монте - Карло сводится к многократному

моделированию

случайных

последовательностей

{х,,}

с после­

дующей

их

обработкой

для

получения

ж е л а е м о й

информации .

J = j г|) (г, П, Е) ф (г,

П, Е) dVd

QdE,

(2.44)

то при

условии

нормировки

распределения

источников

JQ(r0 , Q0 , E0)dV0dQdE0

=

1

математическое о ж и д а н и е случайной величины

5 = J ] 9 W

(2-45)

равно /

[18], т. е. M\ =

J.

З а м е т и м теперь, что дифференциальное

спектральное альбедо

нейтронов а с ( П 0

, E0-+Q,

Е)*

для

случая плоского слоя о т р а ж а ю ­

щего материала является линейным функционалом

плотности

рассеяний

П, Е)

нейтронов

с источником Q =

ô(z)5(Q—

_ й 0 ) б ( £ - £ о ) :

СО

a c ( ß 0 £ 0 ^ f i , £ ) =

f dzjdQ'dE'^(z,Q',

£ ' ) е ~ т (

г '

£ , / ( Й ' ,

£ ' - + ß ,

Е).

(2.46)

* В

разд. 2.3

а с ( £ 0 ,

Ѳо; Е,

Ѳ, ф)

обозначено

через а с ( й о ,

Ец-^Q,

Е).

В выражении

(2.46) / ( ß ' , £'->-ß, £ )

есть

функция

рассеяния,

т. е. вероятность

нейтрону,

имевшему

до

рассеяния

на

глубине

z

направление

движения

fi'

п энергию

Е',

в

результате

рассея­

ния

приобрести

направление и энергию в единичных

интерва­

лах

около

ß и Е соответственно;

т(г, ß ,

Е) есть оптическое рас­

стояние

от

плоскости z

до о т р а ж а ю щ е й

поверхности

по

направ­

лению ß для

нейтронов

с

энергией

Е.

Д л я

однородного

слоя

т (г,

ß , Е) =

cos 0 ,

cos Ѳ =

(n ß ) >

0,

где

п — внешняя

нормаль

к

поверхности.

Используя

теперь

основное

соотношение

(2.45),

получаем,

что

альбедо

а,. ( ß 0 , £o->-fi,

Е) является

средним

значением

слу­

чайной

зелнчнны

l = y f

(Q„ £,• -> ß , Е) е ~ т {2< •Q

•Г ) .

(2.47)

З а д а в а я

теперь

набор

пар

( ß , £ ),, реализуя

достаточно

боль­

шое

число

/V случайных

траекторий

{хп,і,},

k=\,

2,

Л' и вы­

числяя

значения

| согласно

(2.47) для к а ж д о й из историй и пар

( ß , £ ) , получим

оценку дифференциального

альбедо.

Существенной

чертой этого алгоритма является то, что вклад

в

альбедо

дают

все траектории

нейтронов

и,

более того, вес

торий

(равная,

конечно, полной

вероятности

отражения)

д а в а ­

ла в к л а д в интересующую нас величину. Высокая

эффективность

оценки

(2.47)

была

подтверждена

многочисленными

расчетами

альбедо нейтронов и у-квантов.

Во

всех

расчетах

альбедо

нейтронов методом Монте - Карло

функция рассеяния

нейтронов

принималась в

следующем

виде:

f (О',

Е> ->

fi,

E) =

S

pv

(о-ѵ ( £ ' ,

flß') X

X

ô [E -

Ev

( £ ' , flß')]

+

ayn ( £ ' ) % ( £ ' ,

£ ) ) ,

где S s ( £ ' ) — п о л н о е

сечение

рассеяния

дл я

нейтронов с

энер

гией £ ' ; р ѵ

— концентрация

ядер

ѵ-го

сорта;

о^, ( £ ' ,

ß ß ' ) —

дифференциальное

сечение

упругого

рассеяния

для

ядра

ѵ-го

сорта;

£ ѵ ( £ ' ,

ß ß ' )

— э н е р г и я

нейтрона,

испытавшего

упругое

рассеяние

на

ядре

ѵ-го сорта

на

угол

p , s = ( ß ß ' )

и имевшего до

рассеяния энергию £ ' :

£ ѵ ( £ ' ,

QQ0 = ffa+

/^-iUiY£-