Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Марковские процессы как модели систем телетрафи

Настоящая глава начинается изложением примеров систем коммутации (§,1.1), вклю­

чая краткое описание самых сложных на се­ годня систем — программно управляемых АТС. Потом дано крат­ кое изложение случайных процессов размножения и гибели (§ 1.2) с подробнейшим выводом формул для частного случая — двухли­ нейной системы с потерями. Параграф 1.3 содержит математичес­ кий аппарат описания сложных коммутационных систем (изложе­ ние ведется на примере неполнодоступных схем).

1.1. СИСТЕМЫ КОММУТАЦИИ

1. Полнодоступный пучок линий

Полнодоступный пучок линий представляет наиболее простую систему коммутации. На рис. 1.1 изображен о-лвнейный пучок с потерями. Поступающая нагрузка — вызовы, требующие свободной линии на некоторое случайное время разговора, делится на обслу­ женную (это те вызовы, которые в момент поступления застали свободной хотя бы одну из v линий) и потерянную.

Если вызовы, поступившие в момент занятости всех v линий, не теряются, а ожидают освобождения какой-то линии, то мы имеем систему с ожиданием. Если же после потери вызова абонент через случайное время делает вызов еще раз, имеем систему с повторны­ ми вызовами.

2.Неполнодоступная схема

Сцелью экономичного использования линий и коммутацион­ ного обслуживания на практике вместо полнодоступных пучков (схем) применяются неполнодоступные схемы (НС). Основной осо­ бенностью НС является то, что отдельному абоненту доступны не все линии пучка. Простейший пример НС дан на рис. 1.2. Приве­ денная НС имеет 3 линии, которые обслуживают вызовы двух по­ токов: первому потоку доступны 1 и 3-я линии, второму — 2 и 3-я линии. Направление искания слева направо.

9

НС можно описать математически следующим образом. Пусть дано контактное поле с nd. элементами (i, j), i= 1,..., п; / = 1,..., d, расположенными в виде прямоугольной матрицы tiXd. Параметр п обозначает число групп контактов, параметр d называется доступ­ ностью. В k -ю группу входят контакты (7, j), имеющие /е в качест-

ве значения индекса i. Контактное поле разбивается на v непересе-

контактов множества ks через ls. Каждому ks сопоставляется одна и

3. Двухкаскадная схема

Полнодоступная и неполнодоступная схемы — это примеры однокаскадных коммутационных схем, требующих одну точку ком­ мутации для установления соединения между входом и выходом. Естественным обобщением таких схем являются многокаскадные схемы. На рис. 1.4 изображена двухкаскадная схема, которая

Ю

имеет k коммутаторов ib 'Пер­ вом и т коммутаторов по :вто- |ром каскаде. Каждый входной коммутатор (первого каскада) имеет но п входов, а выходной коммутатор по I выходов. Меж­ ду каждой парой коммутато­ ров первого и второго каска­ дов есть f промежуточных ли­ ний. Выходы группируются по направлениям; {всего имеется q ■направлений. Вызов, посту­ пивший по какому-то входу, может требовать свободную линию в одном определенном

направлении (групповое искание), свободную линию в любом из направлений (свободное искание) или одну определенную линию (абонентское искание).

4. Программно управляемая АТС

Наиболее ярким примером коммутационных систем современ­ ности являются программно управляемые АТС (ПУ АТС). На

Подключающее устройство периферийного управления

ТI

ЭВМ

Рис. 1.5. Структурная схема АТС, управляемой ЭВМ

рис. 1.5 приведена структурная схема коммутационного узла (АТС), управляемого ЭВМ (61, с. 252]. Коммутационная система может представлять собой, например, шестикаскадную схему (как на рис. 8.5). Назначения остальных блоков, изображенных на ри­ сунке, объясняют их названия. Вследствие ограниченности числа

11

входов и выходов ЭВМ и большого количества источников инфор­ мации t(абонентских и 1Соедиеителыных линий) управляющее уст­ ройство, кроме ЭВМ, содержит ряд периферийных устройств, кото­ рые готовят информацию для работы ЭВМ и согласовывают ско­ рости работы коммутационных элементов и ЭВМ. На рис. 1.5 изо­ бражена схема АТС, в которой информация о состоянии НС хра­ нится в оперативной памяти ЭВМ. Управляющая ЭВМ, анализируя даеные о текущих состояниях ©сего оборудования коммутационного узла, управляет им в реальном масштабе времени в соответствии с принятой дисциплиной обслуживания вызовов.

Перечислим положительные качества ПУ АТС. Они обладают легкой приспособляемостью к любой структуре сети, к введениюновых услуг для абонентов и к другим видам изменений алгоритма управления вплоть до динамического управления сетью на основе анализа изменений, происходящих на сети связи, и выбора опти­ мального плана распределения потоков. На ПУ АТС можно реали­ зовать автоматический самоконтроль работоспособности системы, включающий переустановление соединений в случае возникновения сбоев в работе программы или отказов по техническим причинам. (Последнее обстоятельство дает большую экономию инженерного труда во время ввода АТС в эксплуатацию.) Во время проектиро­ вания ПУ АТС можно автоматизировать трудоемкий процесс со­ ставления программ управления (разработку математического обеспечения ПУ АТС).

1.2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ

1. Двухлинейная система с потерями

Переходим к разбору математических моделей коммутацион­ ных систем. Начнем рассмотрение с простейшей коммутационной системы — полнодоступного двухлинейного пучка с потерями. Пусть выполнены простейшие предположения теории телетрафика:

1) поток вызовов образует пуассоновский процесс с параметром X (или по терминологии Хинчина представляет собой простейший поток), т. е. среднее число вызовов в единицу времени равно X, и вероятность, что за время t поступит i вызовов, равна

2) длительность обслуживания подчиняется экспоненциальному закону со средним значением, равным 1/р, т.. е. для случайного вре­ мени обслуживания | имеем место

3) если в момент поступления требования оба прибора заняты, то вызов теряется.

Построим случайный процесс, описывающий деятельность си­ стемы. Через Pi(l) обозначим вероятность того, что в момент t за-

12