Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

P. H. ЩЕРБАКОВ

ОСНОВЫ МЕТОДА ВНЕШНИХ ФОРМ И Л И Н Е Й Ч А Т О Й ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТОМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Томск—1973

В п р е д л а г а е м о й книге и з л о ж е н ы о с н о в ы м е т о д а в н е ш н и х ф о р ы К а р т а н а с п р и м е н е н и е м к л и н е й ч а т о й д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й г е о м е т р и и . О с о б е н н о с т ь ю

но у п р о щ а е т с я . С п е ц и а л ь н а я г л а в а п о с в я щ е н а и з л о ж е н и ю м е т о д а п о д в и ж ­

Редактор — Л. 3. К р у г л я к о в

И З Д А Т Е Л Ь С Т В О Т О М С К О Г О У Н И В Е Р С И Т Е Т А , 1973 i

2-2-4

П Р Е Д И С Л О В И Е

Локальная дифференциальная геометрия,, трехмерного пространства развивается уже более двухсот лаТу Постепенно усложняются изучаемые в «ей геометричфки#; ;рбрззы, совер­

и так называемая глобальная геометрияЛПоследйяя не толь­ ко трактует пространства произвольной размерности"'и много­ образия весьма сложного устройства, но преодолела и саму локальность, т. е. ограничение рассмотрения «достаточно ма­ лой окрестностью». Геометрия в целом сводит до минимума требования гладкости, т. е. дифференцируемости функций, которыми она оперирует.

И все же локальная или, как иногда говорят, классиче­ ская дифференциальная геометрия сохраняет большое зна­ чение и как отправная база для обобщений и аналогий, и как объект для апробирования новых методов, и даже просто как таковая, ибо она теснейшим образом связана с многочислен­ ными прикладными проблемами — картографическими, ге­ одезическими, механики сплошной среды и т. п.

Вот почему и сейчас многие геометры во всем мире про­ должают разработку проблем локальной дифференциальной геометрии, а почти все специалисты по самым различным областям современной геометрии в начале творческого пути пробовали свои силы на ее задачах, среди которых все еще есть много интересных и нерешенных.

Особенным вниманием в последние десятилетия пользу­ ется линейчатая дифференциальная геометрия, которая вплотную примыкает к механике оплошной среды. Целое по­ коление советских геометров воспитано на классических монографиях С. П. Финикова «Теория конгруэнции» и «Тео­ рия пар конгруэнции», которые и поныне являются непре­ взойденными по глубине исследования и широте охвата

3

материала. После выхода в свет последней из них прошло полтора десятилетия, а исследования по затронутым в них вопросам все более и более расширяются (см., например, обзоры [26, 6, 30]. Однако монографических сводок появилось немного. Кроме широко известных «Теории комп­ лексов» Н. И. Кованцава [И ] и «Projective differential geo­ metry of line congruences* А. Швеца [40], посвященных спе­ циальным разделам линейчатой дифференциальной геомет­ рии, ни у нас, ни за рубежом нет капитальных монографий, что, конечно, затрудняет работу молодых специалистов в этой области.

Одной из причин, объясняющих отсутствие монографичес­ ких сводок по линейчатой (и вообще локальной) дифферен­ циальной геометрии, является, по нашему мнению, то обсто­ ятельство, что хотя большинство современных работ по локальной дифференциальной геометрии выполняется с ис­ пользованием аппарата внешних форм и теории подвижного репера, но метод этот, созданный Э. Картаном [10, 9] и подробно описанный С. П. Финиковым [21] (и названный юл «методом внешних форм Картана»), до сих пор не полу­ чил обоснования, удовлетворяющего современным требова­ ниям, т. е. достаточно простого и логически безупречного.

общие геометрические теории, отказываются при этом от первоначальной идеи — полной канонизации репера, немед­ ленно приводящей к полной системе инвариантов, ограничи­ ваясь разысканием систем величин (геометрические объекты, тензоры и т. д.), не являющихся инвариантами, но позволя­ ющих конструировать последние, не проводя до конца кано­ низацию репера.

Видимо, недалеко то время, когда все эти исследования (будут завершены и получат монографическое оформление. Однако уже сейчас совершенно необходимо доступное для начинающих исследователей руководство, которое, с одной стороны, содержало бы более современное и более простое изложение основных идей метода Картана, а с другой — показывало бы его применение на сравнительно простом я в то же время актуальном геометрическом материале.

4

Глава 1

УРАВНЕНИЯ ВО ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЕ

§ 1. Алгебраические структуры

Следуя Н. Бурбаки [1], мы введем здесь абстрактное (аксиоматическое) определение понятия «алгебраическая структура», в рамках которого удобно построить необходи­ мую нам структуру внешней алгебры.

Будем рассматривать два множества — «основное» мно­ жество М и «вспомогательное» множество Q (множество «операторов»). О свойствах этих множеств и их элементов ничего не предполагается. Для удобства элементы первого

Будем различать внутренние и внешние законы компози­ ции.

Внутренний закон позволяет по упорядоченной паре эле­ ментов одного и того же множества найти единственный эле­ мент того же множества, что можно записать так:

Элемент вспомогательного множества, т. е. оператор, мы всегда будем записывать слева от элемента основного.

Мы будем говорить, что задана алгебраическая структура, если задана некоторая совокупность свойств одного или

9

нескольких законов композиции. Эти свойства составляют совокупность аксиом алгебраической структуры. Еще раз подчеркнем, что никаких других предположений о свойствах множеств М и Q, их элементов и законов композиции не дела­

1)ассоциативность

(х _L У) ± г = х ± (у j _ г),

2)коммутативность

х _Ly = У ± х,

3) дистрибутивность двух законов „_]_" и „ Т " (точнее закона Т относительно закона _L)

г х = х,

7)коммутативность

10