Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

два бесконечно близких момента времени t и t+At, мы по форму­ ле полных вероятностей получим

pk (t + A t) = рк_ { (t) [ Я,А_, Д t + о (Д 01 + Рк (0 11 — (К + Ра) Д * +

+ о (Д Щ + pk+l (0 [ рА+1 Д t + о (Д 0] + о (Д 0-

Перенесем член pn(t) в левую часть, разделим обе части равен­ ства на At и устремим At к нулю. В пределе получим уравнение

ляет поведение нашего процесса. Для того чтобы эта система име­

Для того чтобы процесс имел стационарное распределение, пат раметры Хь и цй должны удовлетворять некоторым условиям. Для нахождения таких условий предположим, что стационарное рас­ пределение существует. Тогда стационарные вероятности ри долж­ ны удовлетворять системе:

условие, которое приведем без доказательства. Итак, для сущест­

18

где

l^lM-2 ■ ■ -Н ’ 00= 1.

Можно доказать, что эти условия являются также и достаточ­ ными для существования стационарного распределения. Наиболее существенным из них является первое и при его выполнении второе практически почти всегда выполняется. Если стационарное распре­ деление существует, то стационарные вероятности выражаются формулой

1.3.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОММУТАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Процессы размножения и гибели могут описать действие самых простых систем телетрафика: полнодоступный пучок и част­ ные случаи более сложных схем, например, идеально симметриче­ скую неполнодоступную схему. Построим марковский процесс с дискретным множеством состояний и непрерывным временем, ко­ торый описывает более сложные схемы, например, любые однокас­ кадные неполнодоступные схемы. С целью упрощения изложения будем избегать крайней общности и ориентироваться на неполнодоступные схемы, которые детально изучаются в гл. 5.

1. Пространство состояний. Диаграмма Хассе

Обозначим через 5 — множество возможных (в смысле заня­ тия рутей) состояний данной коммутационной схемы. Над множе­ ством состояний S определяется операция частичного упорядочения ( ^ ) , где х ^ у означает, что из состояния у можно попасть в со­ стояние х освобождением ни одного, одного или большего числа занятых путей. На основе операции ^ можно построить диаграмму состояний, называемую в теории графов диаграммой Хассе. Эта диаграмма является графом, который получается, если множе­ ство состояний расположить по уровням согласно числу занятых линий так, что на k-u уровне находятся состояния, в которых ве­ дутся k разговоров. Состояние 0, соответствующее состоянию, когда в системе нет ни одного разговора, находится внизу диаграм­ мы, над ним располагаются состояния с одним разговором и т. д.

Состояния на соседних уровнях соединяются линиями, указы­ вающими переходы из-за,поступления нового вызова. Выбор пути занятия определяется матрицей занятия iR= {гху}, которая будет введена ниже. Если х — состояние, то через |х| обозначаем число

19

ведущихся разговоров в состоянии х. Подмножества состояний, об­ разуемые одним уровнем диаграммы Хассе, обозначим через Д,:

Соседями состояния x назовем состояния, которые получаются произвольным добавлением одного разговора (иеобязательство со­ гласно матрице занятия) или окончанием одного из \х\ ведущихся разговоров. Для каждого состояния х введем два класса 4 К и В х:

.4* — множество тех состояний, расположенных в подмножест­ ве L|.V|+ i , из которых окончанием одного разговора можно достиг­

достигаются окончанием одного из |дг| разговоров (обозначение В от английского слова «below» — «под»).

Рис. 1.9. Диаграмма Хассе трехлинейном неполнодоступной схемы, изображенной на рис. 1.2

Заметим, что состоянию х физически соответствует |х| путей, ведущих от входа к выходу в заданной коммутационной системе, а каждый путь образован занятием одного или целой цепочки физи­ ческих устройств, как точек коммутации, линий и т. п. Следователь­

20

2. Матрица занятия. Вектор потерь

Дальнейшее изложение будем вести, придерживаясь специфи­ ки неполнодоступных схем. Как указано в § 1.1.2, на НС поступа­ ют п взаимно независимых одинаковых пуассоновских потоков вы­ зовов каждый с интенсивностью X. Поступивший вызов i-ro потока занимает первую из свободных линий среди их общего числа d, ко­ торые доступны i-й группе абонентов. Линия занимается на случай­ ное время, определяемое экспоненциальным распределением с па­ раметром, равным единице. Если в ;-й группе все линии заняты, то вызов t-й группы теряется, не влияя на ход будущих событий.

уелх

зовы которых, поступая в состоянии х, не теряются.

Для воспроизведения работы НС достаточно знать матрицу за­

где S(x) — суммарная интенсивность потока вызовов, поступаю­ щих в состоянии х, a s(x), как выше, выражает интенсивность при­ нятого к обслуживанию потока вызовов. С учетом (35) получаем вероятность (потерь для всей схемы в виде

xqS

где рх — стационар мая вероятность состояния х [см. 1(41)].

21