ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 114
Скачиваний: 0
пято i приборов, ;'= 0, 1, 2. Составим систему дифференциальных уравнений для нахождения pi(l). Для этого рассмотрим значения переходных вероятностей в моменты времени t и t+At. При сфор мулированных предположениях относительно потока вызовов и длительности обслуживания случайный процесс является марков ским, поэтому для вычисления распределения {pj(t+A t), j —0, 1, 2} необходимо иметь распределение {Pi(t), i = 0, 1, 2} и переходные вероятности pij(At).
Изучим переходные вероятности. Их вывод существенно упро щает предположение, что At является малым промежутком време ни. Будем искать выражения для Pa(At) с точностью до членов порядка At. Занятие линий зависит от поступления вызовов. Ве роятность поступления i вызовов за время At равна
(Ц / )1' с- ш |
_ (М/)г Л |
X A t |
(KAty- |
\ |
|
/I |
(I V |
1! |
21 |
‘ ) ' |
М |
Так как мы условились пренебречь членами порядка выше At, то достаточно учитывать только вероятность отсутствия вызовов за
время Д^ (получаем из (3) |
при i = 0) |
|
|
|
1 — XAt-\-o{M) |
|
|
(4) |
|
и вероятность поступления |
ровно одного вызова |
за |
время At |
|
(т. е. i = 1) |
|
|
|
|
KAt + |
o(Aty, |
|
|
(5) |
вероятности |
поступления двух и больше вызовов |
имеют |
порядок |
|
о {At), (Поэтому ими !п.ри составлении дифферетациалвных уравне ний можно транебречь.
Вероятность освобождения зависит от интенсивности обслужи вания. Важно заметить, что вероятность освобождения некоторо го занятого прибора не зависит от того, какое время уже длится обслуживание. Действительно, пусть обслуживание уже длится время t и нас интересует Р {t<il^.t+At/^,^>t} — вероятность (осво бождения прибора за промежуток (t, /+Д/] при условии, что дли тельность обслуживания l,> t. Докажем, что P {t - < l^ .t+ A t/l'> t} не зависит от t.
Так как согласно формуле условных вероятностей |
|
P { t < l < t + A t / l > t } = P{t<p \ f ^ y At) |
(6) |
и из (2) следует |
|
Р {t < I < t + Д t} = Р {t < 1} — Р {t + Д t < = е_д< |
Д/+о (Д t), |
|
(7) |
то подстановкой (2) и (7) в (6) получаем |
|
P { t < l < t + A t / t > t } = yLAt + o(At), |
(8) |
что требовалось доказать.
13
Следовательно, вероятность освобождения одного наугад вы бранного занятого прибора за время (t, ^+Д(] равна
рА/ + о(Л^). |
(9) |
Соответственно вероятность того, что прибор, занятый в момент t, останется замятым после момента t+iAt, равна
1 — цД* + о(Д*). |
(Ю) |
Если в момент t заняты два прибора, то |
из (10) следует, что |
вероятность того, что после момента ^ о б а |
прибора останутся |
занятыми, равна |
|
(1 — цД< + о(Д0 ) *= 1 — 2ц М + о (ДО, |
(П) |
и соответственно вероятность освобождения, по крайней мере, од ного из двух приборов равна дополнительной вероятности
2рД£ + о(Д t). |
(12) |
Вероятностью освобождения обоих линий можно пренебречь, так как из (9) получаем, что эта вероятность равна
(цД*)* = о(Д*). |
(13) |
Теперь переходим к выводу выражений переходных вероятностей. Из (5) следует, что
Poi {At) = |
%At + |
o(A 0; |
(14) |
|
pn (At) = |
k k t + |
o(M ). |
(15) |
|
Из (9) |
|
|
|
|
Рю (Дf) = |
рД £ + |
о (Д t). |
(16) |
|
Из (12) |
|
|
|
|
р21(Д 0 = |
2цД* + |
о(Д*). |
(17) |
|
Из (4) |
|
|
|
|
p00(Af) = |
1 — KAt + |
o{At). |
(18) |
|
Из (11) следует |
|
|
|
|
Ри(Д 0 = |
1— 2|гД* + |
о(Д*) |
(19) |
|
(вызов, поступивший в состоянии 2, теряется, не влияя на значе
ние P22(At)). |
* |
Из (4) и (10) находим |
Рп (Д 0 = [1 — рД t + о (Д 0] [1 — А.Д t + о (Д 01 = 1—(Я +'ц)Д t + о (Д О
(20)
(система останется в состоянии 1, если не поступит новый вызов и не окончится обслуживание).
Полученные интенсивности ’переходов представлены на диа грамме состояний (рис. 1.6),
14
Составляем систему
2
Pi (f + Д 0 = £ Pi (9 Ри (А 0. /=°> 1>2-
1 = 0
Используя (18) и (16), получаем
р„ (t + Д t) = (1 — КА t) р0 (t) + ЦА tPl (О + о (Д О.
|
|
А |
Рис. |
7.6. |
О |
Диаграмма перехо |
||
дов |
|
Р |
Из (14), |
(20) |
и (17) |
(21)
А
г
2{1
Pi (* + |
Д t) = ХД1р0(0 + |
(1 — ХА t — рД t) Pi (0 + |
|
|||
-г 2[дА г1р2(0 + о(ДП. |
|
|
|
(22) |
||
Из (15) и |
(19) |
|
|
|
|
|
Рг (f + |
Д о = ЛД fpi (9 + |
(1 — 2рД 9 р2(9 + |
о (Д 9. |
(23) |
||
Алгебраическим преобразованием (21)— (23) |
получаем: |
|
||||
р.о а ± м - м о = _ _ х |
|
+ ц Рх(9 + о о ) |
|
|||
|
А г |
|
|
|
|
|
Pi.(L+_ y ) - _M 0 , = |
^ Л (0 _ |
(Я, + р) Pi(0+ 2р р2(9 + 0(1) |
(24) |
|||
|
А / |
|
|
|
|
|
Рг « + д о - f t (0 = |
X Р1(/) _ |
2р.р2(9 + 0(1) |
|
|||
|
A t |
|
|
|
|
|
Устремляя At к нулю, |
приходим к искомым |
дифференциальным |
||||
уравнениям: |
|
|
|
|
|
|
р'(9 = — Ар0 (9 + |
|xpi(9 |
|
|
|
||
р[ (9 ~ ^ Ро(9 — |
4- ц) Pi (9 4" 2рр2(9 |
|
(25) |
|||
p'2(t) = kpi (9 — 2рр2 (9
Решая эту систему однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами яри данных начальных условиях, находим искомые вероятности.
В дальнейших вычислениях будем предполагать Х = р = 1 и ро(0) =4, P i ( t ) = pz(t)= 0. Следуя процедуре 'решения систем линей ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, ищем фундаментальную систему частных решений (25) в виде
Pi (9 = Сге<Х<. г = 0,1,2, |
(26) |
где Ci и а — постоянные.
15
Подставляя (26) и значения X и р в (25), получаем линейную систему:
— (а + 1)с0 + Ci = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(27) |
|||||
с0— (а + |
2) Ci -{- 2сч = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сх — (ct —f- 2) с2= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из условия равенства нулю определителя |
системы (27) получаем |
|||||||||||||
уравнение для определения значений а: |
|
|
|
|||||||||||
а (а3 + |
5а + |
5) = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(28) |
||
Уравнение (28) |
имеет корень а 0=0. Остальные два корня |
|||||||||||||
а1,2 |
|
— 5±У1> |
|
|
|
|
|
|
|
|
(29) |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Каждый корень определяет частное |
решение |
(26). |
Подставляя |
|||||||||||
значения |
корней в |
(27), |
получаем константы |
с* с точностью до |
||||||||||
множителя. |
Корню ао соответствует вектор (Ао , |
Ао , Л0/2), корням а;, |
||||||||||||
i = l , 2 — |
соответственно вектора |
(Л{, |
(a ,+ l)^ i, |
A i ) . Общее |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аг+2 |
частных ре- |
решение представится в виде линейной комбинации |
||||||||||||||
шений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ро (0 — Аа |
|
Ai ea,i + Л 2еа,< |
|
|
|
|
|
|
||||||
Р1(^)==Л0+ |
Л1(а1+ ' 1) еа,< + |
Л2(а2+ |
1)е“2< |
|
(30) |
|||||||||
Рг(0 = — Л0 + Л1 «1 + 1aa,t + |
Л; <*2- |
a.t |
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
а.х |
|
|
|
|
а2+ 1 |
|
|
|
|
Подставляя |
в |
(30) |
начальные |
условия |
^= 0 |
и ро(0) = 1, pj(0) = |
||||||||
= P z(t)= 0, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 = Л0+ |
Л1 АтЛ2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 = Л0+ |
Л1(а1 + |
1) + |
Л2(а2+ |
1); |
|
|
|
|
||||||
0 = - L Л0 + Аг |
|
+ А |
|
■ |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
«1 + 2 |
|
|
|
«г+ 2 |
|
|
|
|
||
Решая эту систему, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
Л. - Э + / 5 |
|
■ |
А. - 3~ ^ |
|
|
|
|||||
А = — |
|
) |
|
|
|
|||||||||
•**0 |
^ |
|
|
|
J Q |
|
|
■‘ *2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
”5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решения |
(30) представлены на .рис. 1.7. При t-*-00 получаем |
|||||||||||||
стационарное решение системы (30), так называемые стационарные вероятности, которые при произвольных к и р имеют вид
|
|
i |
J _ |
|
|
Pi = |
|
|
г! |
I — 0,1,2. |
(31) |
|
+ ( |
т Г |
|||
1 + |
И- |
|
|
16
Ори нахождении ста'1Шона1рных ве |
|
|
|
|
роятностей, определяемых алсебраи- I |
|
|
|
|
ческой системой, |
которая получается др |
|
|
|
из (125) при подстановке p'i(t) = 0, вме |
|
|
|
|
сто начальных |
вероятностей следует 06 |
|
|
|
пользоваться нор-мирующим условием |
|
|
|
|
2 p j= 1. |
Op |
|
|
|
: |
о,г |
|
|
|
Рис. 1.7. Переходные вероятности двухлиней |
|
|
|
|
ной системы |
0 |
1 |
2 |
t |
|
||||
2.Стационарные вероятности процессов размножения
игибели
Выше при изучении двухлинейной системы с потерями, по существу, был построен марковский процесс, точнее, частный вид его, так называемый процесс размножения и гибели, имеющий три состояния 0, 1, 2, составлена система дифференциальных ур-ний (25) для переходных вероятностей, приведена к виду (30) и выве дена формула для стационарных вероятностей (31).
Сейчас проделаем то же самое для процессов размножения и гибели в общем случае, найдем формулы для стационарных веро ятностей. В гл. 2 на основе этих, формул будут выведены общеиз вестные основные формулы телетрафика.
Рассмотрим однородный марковский процесс с конечным или счетным числом состояний, которые обозначим числами 0, 1, 2, 3...
Если в момент t процесс находится в состоянии k, то за бесконечно малое время М он с -вероятностью ЯдД/+о (At) перейдет в состояние k + 1, с вероятностью цдД/-|-о (At) перейдет в состояние k— 1 и с ве роятностью 1 — (Яд+ рд) Д^ + о(Д/) останется в состоянии k. Из на чального состояния 0 он может перейти ib -состояние й с вероятно
стью ЯоД^ + офД/) -и |
остаться в |
состоянии |
0 с |
вероятностью |
1—ЯоД^+о(ДО- Параметры Яд и рд, |
6= 0, 1, 2... называются интен |
|||
сивностями перехода. |
Они изображены на рис. |
1.8. |
Если число со- |
|
Рис. 1.8. Диаграмма пе реходов процесса раз множения и гибели
стояний конечно и равно п, то из состояния п процесс может перей ти в состояние п— 1 с вероятностью рпД^ + 0|(-Д£), остаться в преж нем положении с вероятностью 1—[ЛпД#-г'О(Д0. Определенный та ким образом процесс и называется процессом размножения и ги бели. Обозначим через Pk(0 вероятность того, что в момент t про цесс находится в состоянии k. Сравнивая состояния процесса, в