|
Задача 9-7 |
В городской |
электросети |
эксплуатируется примерно |
в одинаковых |
условиях 500 |
сетевых трансформаторов |
с одинаковой номинальной мощностью. Сколько лет надо вести наблюдение за их безаварийной работой, для того что бы с гарантией 95% утверждать, что при сохранении тех же условий эксплуатации в течение 5 лет будет не более 30 аварийных повреждений трансформаторов. Среднее время аварийного простоя равно 8 ч. Число повреждений можно считать распределенным по закону Пуассона с математиче ским ожиданием пр.
Решение. Доверительная вероятность (3 = 0,95, верхняя граница вероятности события повреждения одного транс форматора
|
р —___30______ = |
1 1 . |
' |
|
|
|
5 - 8 760-500 |
’ |
|
|
Продолжительность наблюдений за 500 трансформатора |
|
ми должна быть не менее |
|
|
|
|
|
|
|
гр |
|
Л0 |
|
|
|
|
|
1 |
~ 8 |
76От’ |
|
|
|
где п — условное |
число |
опытов |
длительностью |
каждый |
|
0 = 8 ч; 0 — длительность |
аварийного |
простоя |
одного |
|
трансформатора; т — число трансформаторов в сети: |
|
— In (1 — Р) о |
— In 0 , 0 5 - 8 |
= 0,124 |
г. |
|
8 760р 2т |
1,1 • К Г 6 - 8 |
7 6 0 - 5 0 0 |
|
|
|
Задача 9-8
В результате экспериментальных записей значений нагрузки линии в период зимнего максимума получено 960 получасовых ее значений, распределенных по нормальному
|
|
|
|
|
|
закону. |
Оценка математического ожидания равна М (/) |
= |
= |
150 |
А, среднеквадратичного отклонения |
* |
А. |
о7 = 90 |
|
Т р е б у е т с я |
построить доверительные |
* |
|
|
интервалы |
для |
оценки математического ожидания и среднеквадратич |
ного отклонения, |
(3 = 0,95. |
|
|
Решение. Доверительный интервал для математического ожидания найдем по величине
. / " Ш |
/'9 0 * |
«.» = [ / |
> - V т - ‘ -9 6 “ 6-7 А- |
Доверительные границы:
М (Д) = М (/) + емР = 150 + 5,7= 155,7 А;
М (/2) = М (/) - емр = 150 - 5,7 = 144,3 А.
*
Доверительный интервал математического ожидания
[М(/)] = [144,3; 155,7].
Доверительный интервал для среднеквадратичного откло нения определим по величине
еар = Д (/) Y |
Ф_1 <Р) = 902 Y Ш = Т • 1 >96 = 725 А3- |
Доверительный интервал среднеквадратичного отклоне ния
[о] = [/7375; |/8825]А.
Задача 9-9
По замерам случайных величин активных и реактивных значений нагрузок цехового трансформатора был определен
эмпирический коэффициент |
корреляции между |
ними |
г = |
= 0,865. Число замеров |
значений нагрузок |
я = |
$ |
480. |
Требуется построить доверительные интервалы для коэф
фициента |
корреляции |
с |
доверительной |
вероятностью |
(5 = 0,90. |
|
|
|
|
|
|
Решение. Определяем среднеквадратичное отклонение |
коэффициента корреляции от его истинного значения: |
|
|
1—Г2 |
1 — 0,8652 |
|
|
|
о г |
* |
|
0,0115. |
|
|
У п |
|
|
|
* |
|
]/480 |
|
|
Доверительный интервал для коэффициента корреляции |
0,865 - |
Ф-1 (0,9) •0,0115 < |
г < 0,865 + |
Ф '1 (0,9) •0,0115; |
0 ,8 6 5 - 1,65 -0,0115 < |
г < 0 ,8 6 5 + |
1,65 |
0,0115, |
Ф“1 (0,9) = 1,645 1,65 найдено по табл. П 1,
поэтому
0,846 < г < 0 ,8 8 4
или
[г] = [0,846, 0,884].
Задача 9-10
По опытным данным между случайными величинами нагрузок двух видов потребителей электроэнергии в городе
был вычислен эмпирический коэффициент корреляции г =
*
= 0,283. Число опытных данных п = 240. Требуется про верить реальность корреляционных связей между случай ными величинами этих потребителей с доверительной
вероятностью |
(3 |
= |
0,95. |
|
Решение. |
Критическая область |
|
|
|
|
И > ф -1 |
|
|
|
|
у п |
|
1 — г2 |
|
1 — 0,2832 |
0,92 |
ф -!(Р )-“ |
|
= |
Ф * (0,95)— т ... = |
1,96 — = 0,127; |
\fп |
|
V 240 |
15,5 |
Ф-1 (Р) = Ф”1 (0.95) = 1,96 |
принято в соответствии с табл. П1. |
В результате расчета |
имеем 1 г 1 > |
0,127. |
По опытным данным получилось г = |
0,283. Таким обра- |
|
* |
|
зом, с вероятностью 0,95 можно считать, что корреляцион ная связь между случайными величинами нагрузок потре бителей действительно имеет место.
|
|
|
Задача |
9-11 |
|
|
|
|
|
Произведено 10 замеров случайной величины максималь |
ного |
за сутки |
значения |
мощности |
межсистемной |
|
связи |
Р макс, |
распределенной нормально с неизвестными парамет |
рами М (Рмакс) и |
оР макс. |
Результаты опытов |
приведены |
ниже: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( .......................... |
1 |
2 |
3 |
4 5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
РмаксЬ |
МВт . . |
350 |
300 320 380 400 330 370 310 390 350 |
Т р е б у е т с я |
построить |
уточненные |
доверительные |
интервалы для оценки математического ожидания и диспер сии с доверительной вероятностью (5 = 0,9.
Решение. Определяем из статистических данных оценки математического ожидания и дисперсии:
10
М (Рмакс) = ■ ^ ^макс , = ^ = 350 МВт;
Д (А ,акс ) = |
1 \ У |
Р1аКС / - |
[ М ( Я макс)] j |
^ |
п |
= |
_ 13502 + 3002 _| 3202 + 3802 + 4002 + 3302 + 3702 + |
3 102 + |
I |
|
10 |
|
|
|
|
|
-► + 3902+ 3502 - |
3502} -~ = 1,22 ■103 МВт2. |
По табл. П2 для п — 1 |
= 9 и (} = |
0,9 |
находим |
= 1,833. |
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
. / |
Д (Д яакс ) |
1 |
оо . in s |
|
МВт. |
ем|3 = ^ У |
*-— ----■= 1,833 |
■’ |
10 |
= 2 0 ,2 |
Доверительный интервал для оценки математического ожидания:
[М (Рмакс)] = [329,8; 370,2] МВт.
Для построения доверительного интервала дисперсии следует учесть, что распределение kп_г (v) несимметрично в отличие от распределения Стьюдента. Поэтому доверитель ный интервал выбирается так, чтобы вероятности выхода случайной величины V
(п—\)Д |
|
|
д |
V —-------- Д |
’ |
= у ----------- |
Д |
* |
v п - 1- |
за пределы интервала вправо рхи влево р2 были одинаковы. Для построения интервала используем (табл. ПЗ) величины
V, |
имеющие |
распределения %2 с г степенями свободы, где |
г = |
п — 1. |
|
|
В нашем |
случае г = 10 — 1 = 9 : |
== Ц г ~9= 0,05; Xi = 16,92,
р2= 1- p j = 0,95; |
= 3,32. |
Доверительный интервал для дисперсии
Д (Рмакс)
[Д ( Р макс)] = ^
*
X?
1,22-103 - 9 1,22 - 103 •9
16,92 3,32
О2 В |
Д ( Т ’макс) |
{п — В ] |
_ |
* |
|
|
XS |
|
= [0,648; 3,31] ■103 МВт2.
Соответствующий интервал для среднеквадратичного отклонения:
[<*р.,«е] = [25,45; 57,55] МВт.
