Т р е б у е т с я определить стоимость потерь электро энергии в кабельной линии за время т = 10 суток января, если известно, что при т = 0 линия была отключена из-за повреждения, а также ущерб от недоотпуска электроэнергии. Стоимость потерь энергии Ь0 = 0,9 коп/(кВт-ч), а стоимость недоотпущенной энергии у0 — 20 коп/(кВт-ч).
Решение. Определяем математическое ожидание и ди сперсию нагрузки кабельной линии, используя биноми альный закон распределения
М ( Р ) = £ М ( Р Д , |
а р = 1 > 2ру, |
i=i |
/=i |
где М (jPj) — математическое ожидание нагрузки /-й груп пы электродвигателей; k — число групп электродвигателей.
Для первой группы электродвигателей
М (Pi) = piHOM«iPi = 3 -4 -0 ,7 = 8,4 кВт;
Д (Р,) = pf |
= З2 ■4 •0,7 ■0,3 = 7,65 кВт2. |
Аналогично определяем числовые характеристики на грузок остальных групп двигателей
М (Р8) = 4 -6 -0 ,8 = 19,2 кВт; Д (Ра) = 4 •19,2 •0,2 = 15,4 кВт2;
М (Ра) = 10 •2 ■0,6 = |
12 кВт; |
Д (Р3) = |
10 |
12 0,4 = 48 кВт2; |
М (Р) = |
8 ,4 + |
19,2 + 12 = |
39,6 |
кВт; |
|
Д( Р) = 7 ,5 6 + 15,4 + 48 = |
70,96 кВт2; |
стр = 8,4 |
кВт; |
М ( 1 ) = Г М{Р)- |
= |
./39'6 --103 |
= 75,5 |
А; |
Кз^номСОвф |
К З - 380-0,8 |
|
|
о/= 16,1 А.
Установившееся значение вероятности включенного со стояния (8 700 ч/г) кабельной линии
8 700
0,993.
Р ~~ 8 760
Установившееся значение вероятности отключенного состояния
р = 1 - 0 ,9 9 3 = 0,007.
Среднюю вероятность нормальной работы кабельной ли нии в январе за время т = 10-24 — 240 ч при числе повреж-
дений 1 /г. / = 3 1 / г найдем |
из уравнения |
(см. задачу |
8-22): |
|
|
|
|
|
Р (т) = Р |
р2дтг |
|
|
|
h |
|
|
|
|
-3 -2 4 0 |
' |
|
0.9932 •0,007 •8 760 |
«= 0,993 — |
£,0,993 •0.007 •8760 |
0,9256. |
3- 240 |
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание потерь энергии АЛ = 10~ 3 •ЗгМ (/а)р (т)т =
= 3- 10~3-0,27(75,52+ 16,12) -0,9256 -2 4 0 = 1 070 кВт-ч.
Стоимость потерянной энергии |
|
Иаа = 1 0 7 0 -0 ,9 -1 0“2 = 9,63 руб. |
|
Ущерб от недоотпуска электроэнергии за время т -- |
240 ч |
у = у0 [ 1 _ р (Т)] тМ (Р ) = 0,2 - 0,0744 •240 •39,6 = 139 |
руб. |
Задача 8-25
Масляный выключатель п раз отключает линию. Вероят ность его отказа равна 0,01. Вероятность того, что он отка жет хотя бы 1 раз, равна Rx — 0,45. Требуется, пользуясь предельным свойством биномиального закона распределе
ния, |
определить |
число отключений линий п. |
Решение. Так |
как |
вероятность |
отказа выключателя |
(i7 = |
0 ,0 1) при каждом |
отключении |
достаточно мала, то |
можно воспользоваться для определения числа отказов
законом |
Пуассона |
|
|
|
|
|
где а — nq, a m — 1 . |
|
|
|
|
Вероятность того, что |
выключатель |
откажет хотя бы |
1 раз (m — 1 ) |
|
|
|
|
|
/?, - |
1 - е ' а = |
0,45, 1 |
_<г«» = 0,45, е-°-01п = 0 ,5 5 , |
откуда |
|
|
In 0,55 |
|
|
|
|
п — |
60 раз. |
|
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
8-26 |
|
Т р е б у е т с я |
определить |
алгоритм |
получения слу |
чайной величины мощности нагрузки узла электрической системы, имеющей общее нормальное распределение, рас-
полагая датчиком случайных значений случайной равномер но распределенной в интервале [ 0 — 1] величины X.
Решение. Функция распределения случайной величины равна:
|
X |
|
X |
|
|
F (х) = ^ ср (ж) dx = |
|
dx = x. |
|
—со |
|
0 |
|
Функция |
распределения мощности нагрузки |
|
|
s |
[ s - M |
($)]« |
|
(s) = — 7^=1 г |
[ е |
2ст; ds. |
|
сгс V 2я |
' |
|
|
Так как вероятность того, что S < |
s, равна вероятности |
X < л; = г|) |
(s), то |
|
|
|
*l|>(s)
§Ф {х) d x — J ф (х) dx = F (s),
следовательно,
F(x) = F (s)
или
|
|
S |
[s -A f (S)]* |
|
|
|
|
2а; |
|
s — М (S ) |
|
— и |
с |
|
|
dS ~ ~2 + ~2 Ф |
]• |
|
ао V2п J |
|
откуда |
S = |
Gs0 1 (2х — 1) + М (S). |
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
8-27 |
|
|
Т р е б у е т с я |
определить |
алгоритм получения слу |
чайной величины времени безотказной работы элемента,
имеющей |
экспоненциальное |
распределение |
ф (^) = |
= 'ke~Xt (t > |
0), располагая датчиком случайных |
значений |
случайной равномерно распределенной в интервале [0— 1] величины х.
Решение.
t
F (t) = <\'ke~lt dt = 1
0
x
F (x) = ^1 dx = x;
F{x) = F{ty,
1 — e~%t= x\
t = ~ ^ In (1 — x).
Глава девятая
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В ЭНЕРГЕТИКЕ. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
Для оценки неизвестной вероятности какого-либо собы тия по статистической вероятности или частоте р исполь
зуется интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа. Когда априори известно, что распределение случайной величины р близко к нормальному распределению, то вероятность
^>(| Р -Р | < е) = р,
где р — доверительная вероятность, т. е. вероятность того, что интервал со случайными концами (р + е, р — е) на
кроет неизвестный параметр р.
По схеме независимых испытаний дисперсия относитель ной частоты и среднеквадратичное отклонение соответ ственно равны:
9 = 1 - Р -
Ошибку е определяют с использованием обратной функ ции Лапласа
где t$ = Ф-1 (Р) — надежность результата при проведении п опытов; Ф-1— функция, обратная нормальной функции рас пределения. Определяется в соответствии с табл. П1.
Приведенные выше соотношения с вероятностью р дают возможность считать, что
или
P2- 2 p p + p2< fJ Р(1 - р ) . |
* |
3 |
Заменяя знак неравенства в последнем выражении зна
ком равенства, получаем уравнение относительно р , решение |
которого дает значения |
и р2: |
1 |
1 |
tb |
Pi,: |
4 |
га2 |
|
|
При достаточно больших п формула упрощается, при |
нимая вид: |
|
|
Pl,2= P ± ^ |
рл 1~ о |
|
п |
|
* |
|
Доверительным интервалом |
для вероятности р будет |
интервал \ръ р2\. |
|
* |
|
|
Последнее уравнение можно использовать как для опре деления необходимого числа опытов, при котором с задан ной доверительной вероятностью 1 — р ошибка в определе
нии вероятности будет равна е |
|
1 |
е2 |
е2 |
так и для оценки надежности полученного результата при проведенном испытании с известным числом опытов п, за
данной ошибкой е и статистической вероятностью р:
*
Если статистическая вероятность р очень мала и прибли-
*
жается к нулю, что справедливо в отношении вероятности повреждения отдельных элементов электрических систем, то ее нижнюю границу рг можно считать равной нулю, а верхнюю р2 определять из уравнения
/02 = 1 —V 1 — Р-
Число опытов п, которое необходимо произвести для того, чтобы верхняя доверительная граница для вероятности события была равна заданному значению р2,
r IgQ-P)
lg (1 —Р2) ‘
