Файл: Расчеты и анализ режимов работы сетей учеб. пособие.pdf

При выполнении приближенных расчетов можно считать, что число появлений событий распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием пр, тогда

In (1 —р)

—— :

Р2

Доверительные интервалы с вероятностью |3 для мате­ матического ожидания и среднеквадратичного отклонения случайной нормально распределенной величины X при­ ближенно находятся по формулам

Оценки для М (X) и Д (X) определяются из п статиста-

**

ческих данных по формулам

ЛМ Х )= 1 дт~т;Д%\х,-мтх.

Отметим, что для более точного нахождения доверитель­ ных интервалов указанных числовых характеристик необ­ ходимо заранее точно знать закон распределения величины X. При точном построении доверительного интервала для оценки математического ожидания используется распреде­ ление Стьюдента, плотность распределения которого

п

2

где Г (х) — известная гамма-функция;

00

Г (х; = ^ их Ле и du.

о

3 1 8

Для построения доверительного интервала требуется определить величину t$, так как /р = /(Р),

М (Х )~

tp определяется из уравнения в зависимости от заданной величины р по таблицам интеграла (см. табл. П2)

s 1 ( V 1) < я1 (^ й 1) •

где XI и х! — числа определяемых по специальным таблицам X2 распределения с п — 1 степенями свободы в зависимости от р (табл. ПЗ).

Если система случайных величин XY достаточно близка к нормальным законам распределения и произведено доста­ точно большое число опытов (более 30), то доверительные

319

корреляции являются незначимыми, строится критическая область

|г|>Ф ~ЧР) - J -

V п

с доверительной вероятностью р. Если полученное по

опытным данным значение г окажется в этой области, то

*

нуль-гипотезу (г = 0) можно отбросить.

Задача 9-1

Требуется определить наименьшее число п средних за 15 мин значений нагрузки элемента электрической сети,

при котором разность статистической вероятности р и веро-

*

ятности события р, состоящего в том, что значение нагрузки

изменения нагрузки, считая его стационарным на протяже­ нии достаточно длительного интервала времени.

Решение. Предполагаем, что случайная величина р рас­

пределена по нормальному закону, тогда

Время регистрации 15-минутных значений нагрузок

Г = 2Гбб = 60 СУТ0К-

15

Задача 9-2

В условиях задачи 9-1 требуется определить, как изме­ нится надежность результатов, если уменьшить число опытов до 3 000 (время регистрации примерно 31 сутки).

Решение. Надежность результатов в новых условиях

По этому значению в табл. П1 находим:

р = 0(/р) = ф (1,2) = 0,7699.

320

элемента энергетической системы, если общее число наблю­ даемых элементов п — 900 при доверительной вероятности:

а) р = 0,95; б) р = 0,8; в) р = 0,6.

Решение. Доверительные интервалы определяем по при­ ближенной формуле, так как п достаточно велико, а слагае­ мые с сомножителями /|/я2 в уточненной формуле ничтожно

ные интервалы, найденные аналогично, оказались равными:

321

Задача 9-5

Вероятность р отказа в срабатывании автоматического выключателя с номинальным напряжением до 1 000 В не­ известна, но из опыта эксплуатации можно предположить, что она мала. Произведено 600 отключений выключателя

ини в одном опыте он не отказал.

Тр е б у е т с я определить верхнюю границу р2 довери­

тельного интервала с доверительной вероятностью (5 = 0,95, считая приближенно число отказов распределенным по за­ кону Пуассона с математическим ожиданием пр.

Решение. Нижнюю границу доверительного интервала можно считать равной нулю, поэтому верхнюю его границу определим по формуле

Задача 9-6

Сколько лет надо вести наблюдение за безаварийной ра­ ботой линии электропередачи, для того чтобы с гарантией 95% утверждать, что при сохранении тех же условий экс­ плуатации она будет аварийно повреждаться не более чем в 0,01 % всего времени эксплуатации. Среднее время аварий­ ного простоя равно 10 ч. Число повреждений можно считать

322