Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Г. И. МАРЧУК

ЧИСЛЕННОЕ [ЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА

1 '

Г. И. М А Р Ч У К

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА

ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ - ЛЕНИНГРАД--1974 .

УДК 551-509.313

;> ЧЗЕ- ■ЛІ...Р

\ ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА

Настоящая монография посвящена численным алго­ ритмам решения задач динамики атмосферы и океана. Даны оценки точности аппроксимаций задач на базе использования неявных разностных аппроксимаций мето­

да расщеплений. Доказана абсолютная устойчивость разностных схем и установлены балансные соотношения в форме квадратичных функционалов. Введены в рассмо­ трение сопряженные уравнения гидродинамики и сфор­

мулирована теория возмущений, на основе которой де­ лаются выводы о предсказуемости метеорологических элементов.

Монография рассчитана на специалистов метеороло­ гов, аспирантов и научных сотрудников, работающих в области численных методов прогноза погоды, а также студентов физических и механических факультетов университетов, гидрометеорологических институтов.

The monograph deals with numerical algorithms of solving the problems of atmospheric and oceanic dynamics. The estimations of accuracy of approximation of the pro­ blems are given on the basis o? difference approximations

determined in the form of quadratic functionals. Conjugate hydrodynamic equations are considered and perturbation theory is formulated. On the basis of this theory conclusi­ ons are made about predictability of meteorological ele­ ments.

The publication is intended for meteorologists, post­ graduates and scientific workers in the field of numerical weather prediction. Students of hydrometeorological in­ stitutes and those of physical and mechanical faculties of universities can also use it.

П Р Е Д И С Л О В И Е

Проблемы динамики атмосферы и океана ставят перед исследова­ телями все более сложные задачи, основанные на непрерывно дета­ лизирующихся теоретических моделях, реализуемых с помощью

универсальных и эффективных алгоритмов вычислительной мате­ матики.

К настоящему времени уровень наших знаний в области матема­ тической физики и вычислительной математики позволяет дать весьма полный теоретический анализ как исходных постановок задач, так

и вычислительных алгоритмов, и наша задача состоит в реализации такой возможности.

Исследования В. М. Фридмана и Н. Е. Кочина в области гидро­

динамики создали основу для исследований по динамике атмосферных процессов.

Крупный этап в развитии теории гидродинамического прогноза погоды начался с выдающейся работы И. А. Кибеля 1940 г., в кото­ рой была сформулирована первая гидродинамическая модель кратко­ срочного прогноза погоды. Эта работа оказала существенное влияние на дальнейшее развитие теории и методов прогноза погоды.

В исследованиях по динамике атмосферы и океана к настоящему времени определился круг математических моделей, которые исполь­ зуются для описания характерных особенностей циркуляций и соста­ вляют основу для дальнейшего совершенствования теорий. Более того, неизбежная для большого научного прогресса теория взаимо­ действия атмосферы и океана постепенно и объективно стирает различие в подходах к решению атмосферных и океанографических задач, рассматривая их как элементы большой информационной системы. Этому в немалой степени способствует все более крепнущий профессиональный контакт между исследователями в области атмо­ сферы и океана на основе упомянутой выше проблемы взаимодей­ ствия. В результате такого контакта постепенно формируются общие подходы к постановкам задач динамики атмосферы и океана, хотя известное своеобразие в их постановках неизбежно сохраняется.

Все это побудило автора сделать попытку выработать более или мегее единый подход к описанию процессов, происходящих в атмо­ сфере и океане, на основе средств современной вычислительной

5

математики. Новый уровень вычислительной математики оказал существенное влияние на формирование новых методов решения сложных задач динамики атмосферы и океана, среди которых важное место занимает метод расщепления, который уже получил широкое распространение в различных областях науки и техники. Описанию этого метода и теоретическому его анализу посвящен ряд монографий Н. Н. Яненко, А. А. Самарского, Е. Г. Дьяконова, Г. И. Марчука и др. Однако методы теории расщепления требуют большой творческой работы по их применению к конкретным про­ блемам, обладающим, как правило, своеобразием в постановках задач. И успех применения этих методов связан с глубоким пони­ манием сущности описываемых процессов.

Наряду с методом расщепления в настоящей монографии при­ меняются различные другие методы построения разностных аппро­ ксимаций квазилинейных задач гидродинамики, в сочетании с кото­ рыми оказывается возможным построение алгоритмов второго по­ рядка аппроксимации по всем независимым переменным, абсолютно устойчивых в счетном отношении и удовлетворяющих основным законам сохранения.

Автор включил в книгу только самые необходимые сведения из вычислительной математики, которые используются им по существу. Это прежде всего касается решения эволюционных задач на основе метода расщепления. Что касается многих других важных вопросов, таких, как методы численного решения уравнений эллиптического типа, эффективных методов решения задач линейной алгебры и т. д., то их можно найти, например, в недавно вышедшей книге автора «Методы вычислительной математики».

Вконце книги помещена библиография, которая даст общее представление о численных методах в динамике атмосферы и океана и поможет читателю дополнить знания в специальных вопросах.

Взаключение следует отметить, что разработка методов, изло­

женных в данной монографии, проводилась автором в течение по­ следних лет в постоянном творческом контакте с ведущими сотруд­ никами Вычислительного центра в области теории динамики атмосферы и океана Г. П. Курбаткиным, Л. Н. Гутманом, В. П. Кочергиным, В. В. Пененко, В. П. Дымниковым, Г. Р. Контаревым, Е. Е. Каленковичем, Г. С. Ривиным, В. Ф. Кимом, В. И. Цветковым, Ю. И. Кузнецовым и др. Всем этим товарищам автор приносит глу­ бокую благодарность.

Автор благодарит М. Е. Швеца за ряд ценных советов, кото­ рые он сделал при чтении рукописи.

Автор выражает признательность В. Б. Залесному, А. А. Кордзадзе, В. И. Кузину и М. С. Юдину за большую помощь при под­

готовке рукописи к печати.

Г. И. Марчук

6

Г л а в а 1

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ И МЕТОДЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ

1.1. ОСНОВНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим вещественное гильбертово пространство функций (D) с областью определения D и скалярным произведением

В случае вещественного пространства векторов ф с компонен­

При разностных аппроксимациях задач математической физики зачастую приходится иметь дело со скалярным произведением на сетке в форме

В этом случае, очевидно, соотношение (1.3) можно толковать как аппроксимацию выражения из (1.1).

Наконец, если мы рассмотрим пространство вектор-функций ф (х)

Возможны и другие определения скалярных произведений. Если скалярное произведение тем или иным образом определено,

то норму функции ф выразим через скалярное произведение фор­ мулой

7

Для того чтобы выражение (1.5) было нормой, как известно, необ­ ходимо выполнение ряда дополнительных условий, которые сводятся к известным требованиям по отношению к скалярному произведению.

Рассмотрим теперь некоторый линейный оператор Л, который переводит элементы ф одного подпространства в элементы А ср другого по формуле

где / 6 L 2 (D).

Из гильбертова пространства L2 (D) выделим некоторое под­ пространство Ф £ L 2 (D) так, чтобы каждый элемент ср 6 Ф Удо­ влетворял некоторым дополнительным условиям. Такими условиями, например, могут быть требования заданной гладкости, удовлетворе­ ние предельным соотношениям на границе области D и т. д.

Указанные условия, однако, должны быть достаточными для того, чтобы оператор А переводил элемент ф £ Ф в элемент А ф £

6 L 2 (ЯД

Линейный оператор А, определенный на линейном многообра­ зии Ф, называют положительно полуопределенным, если для всех ф £ Ф имеем

(Лф, ф)=&0,

причем возможность равенства нулю скалярного произведения (Лф, ф) допускается на элементе ф, тождественно не равном нулю. Такие операторы обычно обозначают А ^ 0. Если последняя воз­ можность исключается и

(Лф, ф) > 0,

то оператор Л называют положительным и обозначают Л )> 0. На­ конец, в случае более сильного неравенства

(Лф, ф)5&у(ф, ф), ф£Ф ,

где у )> 0 — некоторая положительная константа, единая для всех ф £ Ф, оператор Л называют положительно определенным.

Заметим, что если оператором Л является симметрическая ма­ трица, то для нее из положительности следует положительная опре­ деленность.

Подпространство Ф будем называть областью определения опе­ ратора Л и обозначать Ф (Л).

Введем далее в рассмотрение сопряженный оператор Л* тожде­

ством Лагранжа

(Ag, h) = (g, A*h),

где g £ Ф (Л), а h £ Ф* (Л*). Подпространства Ф (Л) и Ф* (А*) гильбертова пространства L 2 (D), вообще говоря, не совпадают друг с другом, хотя их элементы имеют одну и ту же область опре­

деления D.

В том случае, когда А = А* и Ф (Л) = Ф* (Л*), оператор Л называют самосопряженным.

8

Отметим одно важное следствие, связанное со свойствами сопря­ женных операторов. Так, если Ф (4) = Ф* {А*), то из условия

А > 0 следует А * >> 0.

В анализе алгоритмов большое значение имеют разложения функ­ ций в ряды Фурье по собственным функциям основных и сопряжен­

Предположим, что каждое из однородных уравнений (1.7) обра­ зует полный набор собственных функций {ип} и {п*}, которые нормированы следующим образом:

а вещественные собственные числа Хп (Л) принадлежат интервалу

а (Л )< Я я (Л )<Р(Л ).

Этот полный набор собственных функций будем называть биортогональным базисом. Тогда в предположении полноты любые функ­ ции / из Ф и /* из Ф* могут быть представлены в виде рядов Фурье 1

В дальнейшем мы всюду, нигде особо не оговаривая, будем счи­ тать, что спектр оператора А ^ 0 является вещественным. Тогда нетрудно установить, что в этом случае Кп (А) — Хп (А*) ^ 0.

1.2. НОРМА ОПЕРАТОРА И НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ

Важное значение для анализа вычислительных алгоритмов Имеют оценки норм операторов. Норму оператора А определим следующим образом:

Ч>^0

(в дальнейшем для простоты записи ограничение ф =j=0 указываться не будет).

1 В дальнейшем для простоты Ф (А) и Ф*(А*) будем обозначать Ф п Ф* соответственно.

9