Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
Принимая во внимание соотношение
(Лер, Лф) = (ф, А*Ац>),
квадрат нормы оператора А можно записать еще в следующем виде:
1А И» = sup |
(,f- -1* l(| ) |
(2.2) |
Ф6Ф |
(Ф> Ф) |
|
Оператор А*А — симметричный и положительно полуопределенный. Рассмотрим спектральную задачу
A*AQ = k(A*A)Q. |
(2.3) |
Эта задача определяет набор собственных функций {Qn} и собствен ных чисел кп (А*А) ^ 0. Будем предполагать, что набор {й„} пол ный. Тогда функцию ф представим в виде ряда Фурье
ф= 2ф/Аг> |
(2-4) |
п |
|
где |
(2.5) |
ф„ = (ф, Qn). |
Подставим ряд (2.4) в (2.2) и используем условие ортонормировки функции Qn. Тогда будем иметь
|
^ Х п(А*А) ф* |
|
\\А |
sup —---—--------- |
(2.6) |
|
{Ф„} е |
|
где Q — пространство коэффициентов Фурье. |
матрицу |
|
Рассмотрим теперь |
положительно полуопределенную |
|
А ^ 0, действующую |
на векторы из евклидова пространства Ф. |
|
Имеет место следующее соотношение: |
|
|
|
||(Я + огЛ )-і||^1 |
(2.7) |
для любых значений параметра а ^ |
0. Доказательство этого важного |
||
утверждения проведем с помощью формулы |
|
||
||(Я + стЛ) -1112= sup ((£ + |
оЛ )-іф, (Д + а.4)-іф) |
( 2. 8) |
|
ч>еФ |
(ф. Ф) |
|
|
Введем в рассмотрение векторное подпространство Т1, |
элементами |
||
которого являются |
|
|
|
Ф = (Е + аА)'1ф, |
|
||
где ф £ Ф, ф £ + . Предположим, что ¥ |
6 Ф. Тогда имеем |
||
II (Е + aA y 1II = sup ((Е+ аЛ)(^ |
^ + стл)ф) = |
|
|
_______і_ |
(Лф, Лф) ' |
|
|
inf 1+ 20 (Лф, ф) |
02 |
|
|
(Ф. Ф) |
|
(ф, ф) . |
|
10
Поскольку на элементах ф и і|) 4 |
^ 0, |
из последнего соотношения |
|||
следует оценка (2.7). Если А |
0, |
то, |
очевидно, |
имеем при о |
0. |
II (Е -\-aAy1II |
1. |
(2.9) |
|||
В дальнейшем нам потребуется лемма Келлога, которая утвер
ждает следующее. Если А ^ 0 и о ^ 0, то |
|
|
|
||(Е -а П )(£ ’ + аП)-1|| ssl. |
(2.10) |
В самом деле, введем обозначение |
|
|
|
Т = (Е —оА) (Е + оАу1. |
|
Рассмотрим выражение для || Т ||2: |
|
|
II т іи _ Q11T1 |
W - Q A ) (Д + оЛ )-іф , ( Е - о А ) (Е + оЛ)-іф ) _ |
|
III 11 “ І е І |
(фГф) |
|
|
((Е — о А ) % (Я-оЛ)ф) |
|
|
((Я+ <^)4>> (Я + вЛ)ф)- |
|
|
№. ф) —2сг(Лф, ф) + д2(Лф, Лф) |
. |
феѴФ. Ф) + 2а(Лф , 4>) + ©г (Лф, Лф) |
* |
|
В том случае, когда матрица А ограничена и положительна, вместо (2.10) будем иметь при о > 0
||(Д - а 4 )( Д + а 4 ) - і||< 1 . |
(2.11) |
Оба утверждения (2.7) и (2.10) доказаны нами для случая, когда А — матрица. Они также оказываются справедливыми и для опе раторов в гильбертовых пространствах. В этом случае только нужно уметь доказывать свойство замкнутости оператора, которое по суще ству требуется для полного доказательства утверждений.
1.3. АППРОК
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫМИ
Предположим, что фи — значения функции <р в точках (хк, yt), равномерно покрывающих область D с шагом h так, что хк +1 —
— хк -f- h, уI+ X = Уі + h и границы области совпадают с коорди натными линиями. Назовем точки хк, yt узлами сетки, их множе ство — сеткой и h — шагом сетки. Область определения сеточных функций (так принято называть функции, заданные в узлах сетки) обозначим через Dh, граничные точки — через dDh, а множество сеточных функций фАобозначим Фл. Таким образом, каждой функ ции ф 6 Ф сопоставляется сеточная функция, которую обозначим (ф)Л, по правилу: значение (ср)л в узле (хк, yt) равно ф (xk, г/,). Ука занное сопоставление является линейным оператором, действующим из подпространства Ф в ФЛ(сеточных функций на Dh), который ко ротко называют проектированием функции ф на сетку или проекти рованием подмножества Ф на сетку.
И
Рассмотрим некоторую задачу математической физики в оператор ной форме
у!ф = / в D, |
(3.1) |
где А — линейный оператор, ф ( Ф и / £ F. Здесь Ф и F |
гиль |
бертовы пространства, а D — область определения решения. |
|
Здесь ради простоты предполагается, что функции множества Ф удовлетворяют некоторым однородным граничным условиям, на пример условиям Дирихле.
Наряду с уравнением (3.1), рассмотрим аналогичное уравнение
в конечномерном евклидовом пространстве |
|
|
Ahqh = f |
в Dh, |
(3.2) |
где A h — линейный оператор, зависящий от шага сетки |
h, фЛ £ Фл, |
|
f 1 £ Fh, а Фл и Fh — евклидовы |
пространства. Здесь |
Dh — мно |
жество внутренних узловых точек области D. |
|
|
Введем в рассмотрение норму вектора в сеточных простран ствах Fh, Gh, ФЛ. Далее обозначим (Éj)ft — вектор, являющийся проекцией функции | на соответствующую сеточную область. Будем говорить, что задача (3.2) аппроксимирует задачу (3.1) с порядком п на решении ф, если
Рф )л - Ah(ф)Лу, 4 ss Myh\
II (f)h -thII |
(3.3) |
где Mt — некоторые не зависящие от h константы.
Напомним еще раз, что A h — сеточный оператор, аппроксимиру ющий исходный оператор А в узлах сетки. Он определен на сеточных функциях фЛ. В частности, он также определен на (ф)А— проекции решения исходной задачи (3.1) на сеточную область. Это значит, что имеют смысл как операция A hq>h, так и A h (ф)Л. С другой сто роны, на ф ( Ф действует оператор А, а следовательно, определена функция Дф в области D ; спроектировав ее на сетку, находим сеточ ную функцию (Atp)h. Разность этих сеточных функций ((^4ф)А— ЛА(ф)Л) и фигурирует в первой из формул (3.3). Далее берется норма этой разности в пространстве FЛ.
В тех случаях, когда решение задачи (3.1) обладает достаточной гладкостью, порядок аппроксимации удобно находить с помощью нормы, естественной для пространства непрерывных и дифференци руемых функций. С этой целью обычно пользуются разложением
решения и других |
функций, участвующих в постановке задачи, |
в ряды Тейлора. |
Этот метод будет проиллюстрирован в 2.1 на |
примере конкретной задачи.
Итак, в результате проведенной редукции и с учетом требуемой аппроксимации, задача с непрерывным аргументом (3.1) приводится к задаче линейной алгебры. Дальнейшая задача состоит в решении системы алгебраических уравнений.
12
В качестве исходной теперь рассмотрим эволюционную задачу
^ + |
A(f = /. |
|
Ф = £ |
цри t=s 0, |
(3.4) |
где для простоты предположим, что А не зависит от времени. Пусть требуется произвести аппроксимацию задачи (3.4) по времени. С этой целью разобьем интервал 0 ^ t ^ Т на элементарные tj sg t ^ £J + 1 так, что tl +1 — tj = т и в пределах каждого элементарного интер вала рассмотрим одну из двух следующих аппроксимаций:
явная аппроксимация |
|
|
|
---- 2- + А ф/ = |
//, |
cp« = g; |
(3.5) |
простейшая неявная аппроксимация |
|
||
_ф/ + л фт |
= |
//? фо = ^ |
(3.6) |
Если решение исходной задачи (3.4) обладает достаточной глад костью, то методами разложения решения в ряд Тейлора с последу ющей подстановкой результата в (3.5), (3.6) нетрудно убедиться, что мы имеем дело с разностными схемами первого порядка аппроксима ции по т на каждом из элементарных интервалов tj ^ t ^ tl +1.
Наряду со схемами (3.5), (3.6) введем в рассмотрение схему Кранка — Николсона
£ |
^ V |
+ j4 j£ 4 V _ /( |
(37 |
где р на интервале tj |
t |
tj +1 аппроксимируют |
/ (t) со вторым |
порядком точности в виде |
|
|
|
Р = Р (</+і/а) |
или р = J W + 2fS 4 * l . |
(3.8) |
|
Нетрудно убедиться, что схема (3.7) при условии (3.8) имеет вто рой порядок точности по т. Она играет большую роль в формировании численных алгоритмов решения задач математической физики.
1.4. СЧЕТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Переходим теперь к понятию счетной устойчивости разностных схем. Мы не будем стремиться к возможной общности определения, поскольку нас в основном будут интересовать простейшие алго ритмические подходы к анализу качества разностных схем, аппро ксимирующих задачи математической физики. Различные аспекты теории устойчивости и важные обобщающие результаты содержатся в ряде работ, приведенных в библиографии. В дальнейшем будем снова рассматривать эволюционную задачу вида (3.4).
13