Файл: Корытин, А. М. Оптимизация управления металлорежущими станками.pdf

ма работает в автоколебательном режиме в соответствии с за­ коном

Несовершенство дифференциаторов является причиной низ­ кой помехоустойчивости системы поиска методом взятия про­ изводных. Помехоустойчивость повышается при использовании следящих систем для определения знаков приращения. Изме­ ряя ошибку слежения или определяя ее знак, можно построить автоколебательную дифференциальную систему соответственно пропорционального или непропорционального действия. При этом в пропорциональной системе управляющее воздействие будет изменяться не только по знаку, но и по величине в зави­ симости от значения ошибки слежения.

Метод последовательных шагов позволяет осуществлять поиск экстремума в системах с большой инерционностью объ­ екта регулирования и уменьшает амплитуду колебаний вокруг экстремума по сравнению с автоколебательными системами. Относительное расположение эстремума и рабочей точки определяется по знаку и величине разности последующего и предыдущего значений показателя эффективности /. Для этого в Системе имеется генератор импульсов, который периодиче­ ски включает на определенный период цепь управления и цепь измерения. Записав в блок памяти величину / 3, система отра­ батывает приращение Ар, после чего на элементе сравнения определяется разность между запомненным и вновь получен­ ным значением

А= Ja - J.

Взависимости от знака этой разности и от того, максимум или минимум отыскивает шаговая экстремальная система, ло­ гическое устройство сохраняет знак приращения Ар при по­

использование для' поиска экстремума небольших по амплиту­ де колебаний, подаваемых на вход объекта регулирования от

102

Задавшись числом п .последовательных измерений, опреде­ лим конечный интервал неопределенности, принимая длину первого интервала равной единице по соотношению

Первые два измерения должны находиться на расстоянии Ь2 от соответствующих концов начального единичного интер­ вала неопределенности, причем

Этими двумя измерениями интервал делится, на три отрез­ ка и от результата испытаний зависит, какой из крайних от­

первых измерение,, которое отстоит от конца начального еди­ ничного интервала на расстоянии L3. Таким образом, в каж­ дый остающийся интервал попадает предыдущее измерение и для продолжения поиска последующее измерение необходимо ' производить симметрично уже находящемуся в интервале из­ мерению.

Для уменьшения интервала неопределенности менее чем до одного процента исходной длины при поиске методом дихото­ мии требуется 14 измерений, при поиске методом Фибоначчи необходимо всего 11 измерений.

Метод золотого сечения по своей эффективности близок к методу Фибоначчи, однако не требует предварительного зада­

104

По результатам двух измерений устанавливают, как и при поиске экстремума методом Фибоначчи, какой из отрезков ис­ ключается из исследований. В оставшемся интервале будет находиться одно из предыдущих измерений, и чтобы продол­ жить поиск, необходимо в этом интервале выполнить симмет­ рично ему следующее измерение. Интервал неопределенности после п последовательных измерений

Этот интервал неопределенности при большом числе изме­ рений оказывается на 17% больше, чем при поиске методом Фибоначчи. Метод золотого сечения используют в тех случаях, когда нет представления о необходимом количестве экспери­ ментов, причем при подходе к оптимуму, когда число измере­ ний можно определить, переходят к более эффективному поис­ ку методом Фибоначчи.

Поиск по дискретным точкам производят в тех случаях,

когда независимая переменная не может изменяться непрерыв­ но или желательно вместо интервала неопределенности полу-= чить фиксированную точку, проверенную измерением. В этом случае заданным дискретным точкам приписывают последова­ тельность целых чисел таким образом, чтобы в результате по­ лучилось число Фибоначчи. Если число k дискретных точек та­

дало наилучший результат.

Метод рандомизации заключается в том, что определение направления поиска экстремума базируется на случайном вы­ боре точек измерений. Метод рандомизации более эффективен, чем метод поиска по дискретным точкам в том случае, когда число точек плюс единица не равно числу Фибоначчи. Например, если экстремум с равной вероятностью может находиться в точках измерений /, 2 и 3, то в соответствии с методом рандо­ мизации выполняют эксперимент в точке 2 , а точку дополни­ тельного эксперимента выбирают некоторым устройством, ра­ ботающим по случайному закону с двумя равновероятными исходами. При этом для нахождения экстремума может потре­ боваться дополнительно максимум два и минимум один экспе­ римент. Метод рандомизации, таким образом, не упускает возможности при удачном стечении обстоятельств сократить число экспериментов по сравнению с методом Фибоначчи при использовании фиктивных точек.

Рассмотренные методы поиска экстремума применимы к одномерным системам. Если экстремум многомерный, то его

105

поиск значительно усложняется. В этом случае применяют сле­ дующие методы поиска.

Метод сканирования заключается в последовательном пере­ боре всех возможных управлений системы. Этот метод поиска экстремума требует больших затрат времени и его применяют, в основном, лишь для поиска глобального экстремума в много­ экстремальных системах с ограниченным числом варьируемых параметров.

Метод Гаусса — Зайделя состоит в поиске экстремума по­ очередно по всем варьируемым параметрам. Для этого изме­ няют один параметр при зафиксированных остальных и оты­

После того как все частные экстремумы будут найдены, цикл вновь повторяется до тех пор, пока все градиенты не окажутся в области порога чувствительности измерительных элементов. Это соответствует работе системы в зоне экстрему­ ма. На рис. 42 для двухмерной экстремальной системы показан процесс поиска экстремума методом Гаусса—Зайделя. На графике нанесены линии равного значения показателя эффек­ тивности I. В исходном положении (точка 1) управляющее воздействие ра зафиксировано, a pi начинает варьироваться. Затем при неизменном pi начинают варьировать управляющее воздействие р?. Таким образом, рабочая точка перемещается

106