Файл: Корытин, А. М. Оптимизация управления металлорежущими станками.pdf

Метод наискорейшего спуска используют для поиска мини­ мума функции. При этом определяют направление вектора градиента и затем производят рабочее движение вдоль этого

8J

вектора до тех пор, пока частная производная — , взятая по

Для получения высокой скорости поиска экстремума при наибольшей точности в отдельных случаях используют комби­ нированные методы поиска. Так, при значительных удалениях рабочей точки от экстремума, поиск осуществляют методом наискорейшего спуска, а при подходе к экстремуму поиск ве­ дут методом градиента.

Если многомерная поверхность отклика имеет особенности типа «гребней» и «оврагов», то эффективность поиска экстре­ мума описанными методами значительно снижается и послед­ ние могут оказаться вообще непригодными. Например, если поиск осуществляется методом Гаусса — Зайделя, то, достиг­ нув поверхности отклика с крутым гребнем (рис. 43), распо­ ложенным под углом к осям координат, невозможно продви­ нуться вверх по гребню из любой его точки, поскольку попере­ менное движение вдоль любой из координат приводит к умень­ шению критерия качества, а одновременное движение исклю­ чено. Используя метод градиента, можно организовать движе­ ние рабочей точки вдоль гребня, однако в общем случае это движение будет носить зигзагообразный характер. Положение ухудшается, если гребень имеет криволинейный характер.

107

В этих случаях используют методы, представляющие разновид­ ность методов градиента и последовательных шагов.

Метод конфигураций базируется на гипотезе о локальной неизменности направления поиска. Поиск начинается из про­ извольно выбранной базовой точки и ведется шагами по каж­ дой независимой переменной. При этом результаты измерений сравнивают с результатами, полученными в точке, соответст­ вующей улучшению критерия качества и называемой времен­ ной вершиной. На первом этапе поиска за временную вершину принймают первую базовую точку. После варьирования всех переменных находят временную вершину, которую принимают за вторую базовую точку. Эта пара базовых точек определяет первую конфигурацию. В направлении вектора/ образованного двумя базовыми точками, совершается рабочее движение на кратную этому вектору величину, например, на двойную дли­ ну [41]. Затем процедуру поиска повторяют. Вторую конфигу­ рацию определит вторая базовая точка и новая временная вершима, которую принимают за третью базовую точку. Если изменение направления поиска незначительно или' не произо­ шло, то рабочее перемещение увеличивается.

Такой процесс поиска продолжается до тех пор, пока кон­ фигурация не разрушается, т. е. новая временная вершина ока­ зывается ниже предыдущей базовой точки. Это свидетельст­ вует о том, что либо обнаружена вершина поверхности откли­ ка, либо обнаружен гребень. Если справедливо последнее, то необходимо организовать движение к вершине по гребню. Однако длина пробных шагов может быть столь большой, что не позволит удержаться на гребне. Поэтому после разрушения конфигурации длина пробных шагов уменьшается, например, вдвое, а поиск продолжается из предыдущей базовой точки. Если гребень прямолинейный, то направлейие поиска сохра­ няется неизменным и длина рабочих перемещений возрастает. Если гребень искривляется, то длина рабочих перемещений уменьшается. Наконец, наступает момент, когда очередная конфигурация вновь разрушается. Если при этом дальнейшее сокращение длины пробных шагов не приводит к нахождению временной вершины, то, следовательно, базовая точка нахо­ дится в максимуме поверхности отклика с точностью, опреде­ ляемой разрешающей способностью пробных шагов.

оказывается более эффективным, чем метод конфигураций, поскольку предусматривает совмещение одной из осей коорди­ нат с направлением гребня либо с направлением наиболее удачного поиска. Вторая ось координат в этом случае оказы­ вается перпендикулярной траектории поиска. Такое преобра­ зование дает возможность более быстрого продвижения вдоль

108

гребня. Новую систему координат устанавливают после каж­ дой серии пробных шагов. После одинакового числа пробных шагов (200 шагов) результат поиска экстремума методом Розенброка оказался на 2,5 порядка точнее, чем результат, по­ лученный при поиске методом конфигураций [41].

Метод симплекса заключается в том, что по известным зна­ чениям критерия качества в вершинах выпуклого многогранни­

расположена только одна грань, на которой можно построить новый симплекс, отличающийся от прежнего только располо­ жением одной вершины.

Поиск экстремума методом симплекса рассмотрим на при­ мере двухкоординатной системы. Предположим, требуется найти максимум критерия качества. Для этого измеряют зна­ чения поверхности отклика в трех точках г]0, S20, г30, образую­ щих вершины начального симплекса (рис. 44). Допустим, наи­ меньшее значение измерения получено в точке ею. Эта точка должна быть исключена и заменена новой — ги, расположен­ ной симметрично точке г10 относительно центра грани началь­ ного симплекса. Вычисленное в точке ги значение критерия качества сравнивают с известными значениями других вершин (гго, г3о) нового симплекса. Вновь определяют вершину с наи­ меньшим значением критерия качества, подлежащую исключе­ нию, и строится следующий симплекс. В результате исключе­ ния вершин симплекса с наименьшим значением критерия качества процесс сходится к вершине поверхности отклика. При этом на крутом гребне или вблизи оптимума может воз­ никнуть цикличность, когда полученный симплекс исключается

109

ность определения оптимума.

Таким образом, методом симплекса предусматривается ав­ томатическое изменение величины шага при подходе к хребту

гов и наиболее эффективен для поиска экстремума на криво­ линейных гребнях. Если пробные шаги по всем переменным показывают, что исходная точка является наилучшей, то ЦВМ вызывает подпрограмму «Гребень». Согласно этой подпрограм­

за исключением исходной точки Ь, значения критерия качества. Если полученное измерение лучше, чем в исходной точке, то

метод квадратической аппроксимации [31]. При успешном из­ мерении в средней точке квадранта дальнейший поиск продол­ жают из этой точки. Если же измерение в средней точке квад­ ранта дает результат меньший, чем в исходной точке, то поиск прекращают и считают, что исходная точка определяет верши­ ну поверхности отклика.

Моделирование на ЦВМ поиска экстремума методом Мю­ геля и методом Розенброка показало, что оба метода обеспе­

110