Файл: Каули, Ч. Теория звездных спектров.pdf

50 ГЛАВА 2

2.3. ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА

Рассмотрим излучающий газ, помещенный в замкнутую по­ лость, в которой вещество пришло в тепловое равновесие (абсо­ лютно черное тело). Излучение, которое поглощается элементар­ ным объемом газа, должно быть равно количеству энергии, из­ лучаемой этим объемом. Если это равенство не сохраняется, то элемент объема будет либо нагреваться, либо охлаждаться, что противоречит нашему предположению о тепловом равновесии. В пределах такой полости, или абсолютно черного тела, удель­

где плотность энергии равна ик = 4лВк/с. Одна шестая часть энергии поступает от излучения, распространяющегося в напра­

сик dk(i±x)2ß,

а поглощенное кубом количество энергии равно

сик dk (Ах)2 ккАх/6.

Суммируя по 6 граням куба, получим:

Поглощенная энергия = сик%к(Ах)3 dk — 4пВкяк(Ах)3 dk. (2.3.2)

Согласно определению коэффициента излучения вещества, пол­ ная энергия, излучаемая в (Л, dk), есть

Приравняв соотношения (2.3.2) и (2.3.3), получим закон Кирх­ гофа:

Уравнение (2.3.4) получено в предположении изотропного поля излучения, проходящего сквозь объем газа, который при­ шел к тепловому равновесию. В звездных атмосферах такие ус­ ловия не встречаются из-за направленного переноса излучения из недр наружу. Однако если температура лишь слегка ме­ няется на расстояниях порядка среднего свободного пробега фо­ тона, то отклонение поля излучения от изотропного также будет незначительным, и мы можем считать, что уравнение (2.3.4) справедливо для областей атмосферы с локальной температу­ рой Т. Таким образом, мы приходим к концепции локального

термодинамического равновесия (ЛТР), согласно которой соот­ ношения Больцмана и Планка и закон Кирхгофа *) справед­ ливы в данной точке при локальной температуре этой точки.

Если предположение о ЛТР справедливо, то вычисления ха­ рактеристик спектра сильно упрощаются, так как функция источника теперь просто равна функции Планка В\{Т). Если из модели звездной атмосферы известна температура газа, то нужно только вычислить непрозрачности линии и континуума и от них перейти к оптическим глубинам. Полная интенсивность неполяризованного света при ЛТР просто равна

оо

к (та= О, Ѳ) = I ВХ(Т) ехр (— тх sec Ѳ) dxxsec Ѳ. (2.3.5)

о

Огромные усилия затрачены на изучение условий в звездных атмосферах, когда предположение о ЛТР несправедливо. Отло­ жим сравнение концепций ЛТР и отсутствия ЛТР до следую­ щего раздела и рассмотрим уравнение переноса при отсутствии ЛТР. Функция источника не будет иметь простую форму Вк(Т), и мы вынуждены вернуться к определению (2.2.9) и попытаться найти выражения для коэффициентов поглощения и излучения.

Процессы поглощения и излучения могут протекать многими различными способами, и детальное рассмотрение каждого из них увело бы нас за рамки настоящей книги. Конечно же, пере­ числение всех физических процессов вовсе не обязательно. Мы должны попытаться выбрать лишь те из них, которые важны для всех рассматриваемых явлений.

Как коэффициент поглощения, так и коэффициент излучения можно подразделить на составляющие, обусловленные дискрет­ ным (в линиях) и непрерывным механизмами:

стое поглощение. Термин ЛТР иногда используется как синоним чистого по­ глощения. Однако понятие ЛТР несколько шире и включает также максвел­ ловское распределение скоростей, больцмановское распределение энергий и т. д.

Теперь рассмотрим функцию источника S1для линии и скон­ центрируем внимание на тех аспектах отклонения от ЛТР, ко­ торые приводят к отклонениям заселенностей атомных уровней Nn от их значений при ЛТР. В частности, мы не будем касаться деталей переноса излучения в спектральных линиях. Тогда мож­ но полагать, что отношение j'/x1 на каждой частоте равно отно­ шению полного излучения к полному поглощению, проинтегри­ рованному по спектральной линии.

Сначала рассмотрим выражение для коэффициента погло­ щения, проинтегрированного по контуру линии. Согласно гл. 1, имеем

Подставляя соотношение между величинами f и В, получим

Здесь п — нижний уровень, а т — верхний (рис. 1.3.1). Спонтанное излучение с верхнего уровня составляет

N 4ft

на стерадиан. Если мы временно пренебрежем вынужденным из­ лучением, то функция источника для линии станет

В астрономии обычно вычитают из поглощения эффект вынуж­ денного излучения и записывают приращение оптической глу­ бины в виде

где х’ — коэффициент поглощения, исправленный за вынужден­ ное излучение. Когда оптическая глубина определяется через х', функция источника равна отношению коэффициента спонтан­ ного излучения (не включающего индуцированное излучение) к х'. Получим выражение для х', проинтегрированного по всем частотам.

Можно записать

где использованы отношения коэффициентов Эйнштейна В. Если

Это выражение приводит к функции Планка, если заселенно­ сти Nn и Nm являются больцмановскими, а (2.3.13) принимает

В дальнейшем мы опустим знак штрих у х, так как для обо­ значения линии или континуума часто используется верхний ин­ декс (например, к[ или х£). Нетрудно понять из контекста,

когда вводится поправка за вынужденное излучение. Хорошее практическое правило заключается в том, что при вычислении оптических глубин хх = nxdx всегда должна вводиться поправка за вынужденное излучение.

2.4. ЗАСЕЛЕННОСТИ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ. ЗАДАЧА ПЕРЕНОСА В ЛИНИИ

Мы получили довольно простое выражение для функции источника S1в линии, исходя из отношения заселенностей атом­ ных уровней Nn и Nm. Если не делается предположения, что это отношение дается формулой Больцмана (ЛТР), то следующее простейшее допущение состоит в том, что каждая точка в атмо­ сфере находится в статистически устойчивом состоянии, т. е. мы считаем, что числа заполнений Nn постоянны во времени.

Хорошо известно, что при статистическом равновесии можно получить решение для числа заполнений Nn только тогда, когда

вобласти решения определены некоторые физические условия.

Вдополнение ко всем физическим параметрам (поперечные се­ чения, вероятности переходов) для основных процессов нужно еще знать плотность газа, электронную температуру Те и поле излучения. Обычно (но не всегда) считают, что известна и элек­ тронная концентрация Ne.

Полагают, что рассматриваемый атом имеет конечное число уровней я, а следующая, более высокая степень ионизации (кон­ тинуум) обычно рассматривается как простой уровень с числом заполнения Nc.

Запишем число переходов в 1 с для всех процессов, которые переводят атом с уровня і на уровень / в виде

NiP4 . (2.4.1)

Уровень / может быть выше или ниже уровня і, а может быть и континуумом с. Можно воспользоваться уравнением для ста­ тистического равновесия

Суммы берутся по всем п уровням и континууму с. На каждый уровень приходится по одному уравнению, так что имеется п -j- I уравнение и я + 1 неизвестное. Однако Ni или Nc содержатся в каждом выражении, и это означает, что уравнения однородны и решения можно получить только для отношений, скажем, Ni/Nc. Решения уравнений статистического равновесия впервые использовались в астрономии при изучении неравновесных ус­ ловий, существующих в газовых туманностях. В своих ранних работах Мензел и его сотрудники ввели обозначение b для опи­ сания заселенности уровней. Для «-го уровня

для ионов, а %— энергия ионизации с «-го уровня. Если темпе­ ратура возбуждения и электронная температура Те совпадают, то 6 = 1. Обозначения 6 или Ь„ прочно вошли в литературу, так что чаще можно встретить функцию источника линии, за­ писанную в виде

Si = 1 7 ехРКъ» ~ 1n)lkT\)'1, (2.4.4)

а не в форме, которую мы дали в (2.3.14), и уравнения статисти­ ческого равновесия чаще пишутся с 6, чем с заселенностями уровней.

Если известно полное число атомов и ионов NT, то можно ис­ пользовать уравнение

для превращения отношений, полученных при решении (2.4.2),

вконцентрации атомов в данном состоянии.

Впринципе каждый знает, как решить систему линейных однородных уравнений, так что нет нужДы далее останавли­ ваться подробно на решении (2.4.2). На практике необходимо рассматривать процессы Рц, являющиеся сочетанием радиацион­ ных и столкновительных процессов, для которых должны быть

известны соответствующие поперечные сечения. Дальнейшие подробности можно найти в литературе. В этой области выпол­ нено огромное число работ, многие из них посвящены разработ­ кам алгоритмов для решения (2.4.2), нужных как для понима­ ния проблемы, так и для практических решений. В сборнике Гарвардской конференции по звездным атмосферам [6] содер­ жится много относящихся к этому вопросу статей и литератур­ ных ссылок. Значительная часть монографии Джеффриса (87] также посвящена этим проблемам.