Файл: Каули, Ч. Теория звездных спектров.pdf

До сих пор мы полагали, что поле излучения в рассматри­ ваемых точках атмосферы известно со всеми подробностями. Теперь можно получить удельную интенсивность на оптической глубине т из решения уравнения переноса. Запишем /(р, 1) =

— /ѵ(Ѳ, т) для оптической глубины т в атмосфере, которая счи­ тается цилиндрически симметричной (не зависящей от ср), и пре­ небрежем зависимостью от поляризации. Тогда, применяя ин­ тегрирующий множитель sec0exp(—тэесѲ) к уравнению пере­ носа, для оптической глубины т получим

поля излучения, описываемого уравнениями (2.4.6) и (2.4.7), ко­ торые в свою очередь зависят от значения функции источника на всех других оптических глубинах. Ясно, что нахождение точ­ ного вида функции источника неразрывно связано с решением уравнения переноса в линии, формальное решение которого дается соотношениями (2.4.6) и (2.4.7).

В своей работе о Nal в солнечной атмосфере Джонсон [89] решил совместную систему уравнения переноса и уравнений ста­ тистического равновесия методом итераций. Он произвел пер­ воначальные оценки S1 и соответствующих оптических глубин. Они были подставлены в решения (2.4.6) и (2.4.7), которые затем использовались для решения уравнений статистического равновесия (2.4.2). Получив это решение, можно записать новое значение S1, которое дает второе приближение для поля излуче­ ния и т. д.

За дальнейшими подробностями мы вновь отсылаем к лите­ ратуре. Гарвардская конференция [6] и книга Джеффриса [87] являются хорошей основой и источником дальнейших ссылок.

2.5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА

Выражение (2.3.14) для функции источника в линии описы­ вает довольно общий случай. Оно содержит частный случай чи­ стого поглощения:

Можно показать, что при определенных предположениях отно­ сительно преобладания радиационных или столкновительных членов в уравнениях статистического равновесия эти выражения выводятся прямо из (2.3.14). Поскольку указанные допущения являются достаточными, но не необходимыми условиями упро­ щений (2.5.1) и (2.5.2), мы не будем приводить их вывода (см., например, [182]).

Мы проведем более традиционное рассмотрение приближен­ ных выражений для функции источника, подчеркивая физиче­ ские процессы, приводящие к упрощениям. Для практических вычислений применимость большинства этих приближенных вы­ ражений сомнительна, но мы рассмотрим их здесь, так как они могут облегчить понимание результатов, включающих расчеты на вычислительных машинах.

2.5.1. Чистое поглощение. В разд. 2.3 мы уже рассмотрели физические концепции, которые приводят к (2.5.1). Допущение о чистом поглощении включено в допущение о ЛТР. Наше мне­ ние относительно этого приближения дается в разд. 2.6.

Одно из важных свойств линий, образующихся при ЛТР, со­ стоит в том, что удельная интенсивность, наблюдаемая в центре

в центре линии, что излучение из более глубоких слоев непо­ средственно не наблюдается.

2.5.2. Когерентное рассеяние. При когерентном рассеянии по­ глощается фотон и он же (или по крайней мере идентичный ему) переизлучается. Первоначально считали, что этот процесс описывает перенос излучения в сильных линиях, где вероятность спонтанного излучения очень велика. Поскольку энергетическая область основного состояния резонансной линии очень узкая (большое время жизни), считали вероятность переизлучения того же самого фотона очень большой.

Правомерность когерентного механизма рассеяния может быть как-то оправдана для звезд с очень протяженными атмо­ сферами, но никак не для Солнца. Во-первых, тепловой эффект Допплера будет приводить к некогерентному рассеянию (ме­ няется частота) вблизи ядра линии. Во-вторых, для Солнца ве­ роятность ведущего к уширению линии столкновения перед спонтанным излучением очень велика. Это легко видеть, срав­ нивая наблюдаемую постоянную затухания на Солнце с класси­ ческой постоянной затухания. Первая является мерой частоты

(или более) столкновений, ведущих к уширению линии.

Здесь мы все же рассмотрим когерентное рассеяние, так как оно остается важной составляющей в более реалистичном неко­ герентном случае, когда функция источника зависит от локаль­ ного поля излучения, а не от локальной температуры, как в ЛТР. Следовательно, рассматривая когерентное рассеяние, мы сможем понять поведение контуров сильных линий из упрощен­ ного расчета.

Сделаем дополнительное упрощающее предположение, что

мерность коэффициента поглощения, рассчитанного на одну ча­ стицу), то уравнение переноса будет

где N — число рассеивающих частиц в 1 см3 (индекс, указываю­ щий на зависимость от длины волны, опущен). Излучение в еди­ нице телесного угла должно равняться энергии /, поглощенной со всех направлений, деленной на 4л (изотропное рассеяние), следовательно,

Поскольку Na в точности равно коэффициенту поглощения, а N и о не зависят от направления (со), уравнение (2.5.4) дает

для когерентного изотропного рассеяния.

Для линии поглощения, образованной этим механизмом, ми­ нимальная наблюдаемая интенсивность в центре линии погло­ щения определяется минимальной средней интенсивностью /(X = Хо) в атмосфере. В отличие от функции Планка (для ко­ нечной температуры) функция /(X — Х0) может стать сколь угодно малой. Качественно это происходит так: при каждом прохождении сквозь вещество звезды свет отклоняется от на­ правления луча зрения и перераспределяется по сфере. В глу­ бине атмосферы, где поле излучения изотропно, вдоль луча зре­ ния возвращается столько же энергии, сколько уходит вдоль него. Однако в верхнем слое атмосферы большая часть излуче­ ния направлена наружу, и потери энергии необратимы. Средняя интенсивность /(X = Хо) может стать сколь угодно малой, если

сильных линий могут становиться черными. Мы продемонстри­ руем этот результат на простой атмосферной модели в послед­ нем разделе этой главы.

2.5.3. Сочетание поглощения и рассеяния. Поскольку и коге­ рентное рассеяние, и чистое поглощение принимают участие в образовании спектральной линии, можно представить функ­ цию источника как линейную комбинацию функции Планка В и средней интенсивности /, взятых с весами, соответствующими коэффициентам поглощения, а именно:

3 = + <2 -5 -6>

(вновь у всех величин опускается нижний индекс X). При подхо­ дящих допущениях это выражение получается прямо из общего соотношения (2.3.14) для функции источника в линии.

Унзольд [158, § 118] использовал следующую идею для оцен­ ки относительных значений коэффициентов при J и В. Рассма­ тривая поглощение фотона с переходом с нижнего уровня і на верхний /, можно оценить отношение

где когерентное и некогерентное рассеяния учитываются вместе. Основной логический ход мысли следующий. Если имеет место переход / —*• і, то фотон рассеивается, а если осуществляется пе­ реход / —►k ф і, то возможно много квантовых переходов, на­ пример ионизация и обмен энергией с континуумом или столк­ новения с возбуждением или дезактивацией. Все эти процессы способствуют установлению ЛТР. Фактически Унзольд включил в свою формулировку лишь радиационные процессы, хотя столкновительные процессы наверняка нужно было бы ввести в зна­ менатель правой части (2.5.7).

Возникает сомнение, найдет ли выражение (2.5.6) иное при­ менение, чем качественное объяснение поведения спектральных линий. Для количественных задач, когда допущение о ЛТР не­ справедливо, нужно вернуться к общему выражению (2.3.14).

2.5.4. Некогерентное рассеяние. Проблеме некогерентного рассеяния посвящено много теоретических работ, но результаты, имеющие практическую ценность для интерпретации звездных спектров, крайне редки. Это обусловлено двумя причинами. Вопервых, сама теория довольно сложна, так что исследованные до сих пор решения всегда получались при одном или более упро­ щениях, и нелегко судить о важности этих упрощений, пока не решена более общая задача. Традиционными упрощениями яв­ ляются: а) независимость функции источника от частоты, б) не­

зависимость профиля линии излучения (поглощения) от глуби­ ны, в) изотропность поля излучения и г) концепция атома с двумя уровнями. Во-вторых, камнем преткновения теории неко­ герентного рассеяния является то обстоятельство, что области звездных атмосфер, к которым эту концепцию, вероятно, можно бы применить, еще плохо поняты с точки зрения астрофизики. Мы вернемся еще к этому утверждению в п. 2.6.2.

Легко выписать основные уравнения, которым подчиняется некогерентное рассеяние. Обратимся опять к описанию фотона. Его переменными являются импульс р и поляризация 1. По­ скольку |р| = hv/c, частота, так же как и зависимость от на­ правления, содержится в р. Скалярные компоненты (рх, ру, рг) можно задавать полярными координатами (р, Ѳ, ф) или (ѵ, Ѳ, ф), поскольку всегда можно получить радиальную компоненту им­ пульса р умножением ѵ на h/c.

Мы определяем «фазовую функцию» R(v, со, І~*ѵ', со', Г) ус­

к двум перпендикулярным направлениям, составляющим пря­ мой угол с вектором р. Подобные обозначения используются и для dco' и dY.

Если рассеяние происходит только между двумя уровнями, то полное излучение фотонов в объеме 1 см2-dx в элементе те­ лесного угла (со, dco), в интервале частот (v, dv) и при состоя­ нии поляризации (I, dl) будет определяться интегралом по всем фотонам, которые рассеиваются в указанную область состояний. Таким образом,

Энергия, теряемая пучком фотонов при прохождении слоя тол­ щиной dx, равна

Идля всех других величин аналогично,