ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 0
30 |
ГЛАВА f |
Чтобы связать эту величину с коэффициентами Эйнштейна А и В, нужно перейти от монохроматического плоскополяризованного электромагнитного излучения к функции распределения плотности энергии, которую мы возьмем равной функции рас пределения иѵ излучения абсолютно черного тела.
Плотность энергии излучения абсолютно черного тела в ин тервале частот (ѵ, dv) с центром на частоте излучения (1.5.17)
составляет (сравните с уравнением (1.3.4): заменено на 2А)
uv dv = ЗЛ2/2л. |
(1.5.22) |
Подставляя А2 из (1.5.22) в уравнение (1.5.21), получим |
|
атат = -у -«ѵі (т\ р х I«) Pf (ѵ, t)dv, |
(1.5.23) |
где через f(v, t) обозначено довольно громоздкое выражение в фигурных скобках (1.5.21).
Теперь мы должны проинтегрировать это выражение по всем V, поскольку, как и в классическом случае, атом способен ре
агировать на некоторую малую область частот около частоты ѵ,
определяемой соотношением |
(1.5.20). Полагая |
|
|
|
|
/ = |
Jоо f(v,t)dv, |
(1.5.24) |
|
получим |
—оо |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ~ ( 2t/hh) J (sin2xlx2) dx. |
(1.5.25) |
||
Интеграл, |
входящий в (1.5.25), является табличным |
и |
равен |
|
л. Чтобы |
получить полное |
выражение для а*тат, нужно |
доба |
|
вить еще два слагаемых, учитывающих направления у и г. Окон чательный результат
а‘т(іт = |
| ( т | Р |а) р uvt, |
(1.5.26) |
где |
|
|
I (m| Р |п> Р = ! (т IРх Iп) f + |
1(т\Р„ |п) |2 + | (щ| Р2 |п) |2, |
(1.5.27) |
является матричным элементом полного электрического диполь ного момента атомов.
Мы находим, что а*тат пропорционально времени, |
следова |
тельно, |
|
Впт — (8л3/3/г2) |(m| Р |я) |2. |
(1.5.28) |
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В ЛИНИИ |
31 |
Можно связать теперь коэффициенты Эйнштейна А с матрич ными элементами дипольного момента при условии, что состоя ния m и л не вырождены (g m = g n — 1):
Атп= (64я4ѵ3/3/гс3) I(m| P |n) f. |
(1.5.29) |
Таким образом, скорость спонтанного излучения энергии кван товомеханической системой в расчете на один атом есть
(4со4/Зс3) \{т \ Р \п) I2. |
(1.5.30) |
Сравнение с соответствующим классическим выражением, кото рое можно получить из уравнений (1.1.4) и (1.1.5), показывает, что классическому дипольному моменту соответствует удвоен ный квантовомеханический момент, т. е. 2 | ( т | Р | « ) | .
Волновые функции Т т и Ч'п должны рассматриваться как функции, дающие наиболее полное из возможных описание атомных состояний т и п . Это значит, что оптический электрон характеризуется четырьмя квантовыми числами: п, I, / и или п, I, ті и т„, или, другими словами, (т\Р\п) выражает диполь ный момент для переходов между двумя элементарными зеемановскими состояниями, или просто состояниями. С другой сто роны, наши соотношения между коэффициентами А, В и f учи тывают переходы между вырожденными уровнями, имеющими статические веса g.
Следуя Кондону и Шортли [29], рассмотрим переход между двумя элементарными состояниями а и 4, где а — верхнее, а<5 — нижнее состояние. Пусть состояния а и 4 являются одним из gM- и состояний, образующих вырожденные уровни s i и Я.
Коэффициенты Эйнштейна А для перехода между состояниями а и 4 обозначим через А (а, 4). Подобным же образом обозна чим аналогичный коэффициент для перехода между двумя уров нями s i и Я: A (si,È). Энергия І(а,4), спонтанно излученная одной (зеемановской) компонентой, равна
I (а, 4 ) ~ dW/dt — NaA (а, |
4) hv — Na(4со4/Зс3)| (а | Р \ 4)f . (1.5.31) |
||
Величина A(si, |
Я) |
позволяет выразить общую энергию в спек |
|
тральной линии |
( |
s |
i которая получается суммированием |
интенсивностей всех (зеемановских) компонент (а->4). Соответ
ствующая интенсивность в линии I (si, Я) |
дается формулой |
I (si, Ш) = ЫЛА (si, ЯІ hv = Na(4co4/3c3) 2 ' | |
<«| P [*) |2. (1.5.32) |
ab |
|
Штрих при знаке суммирования означает, что сумма берется по всем возможным переходам между состояниями а и 4. Эту сумму Кондон и Шортли [29] назвали силой линии и обозначили
S(si, ^) = 2 l ( a | Р \4)\\ |
(1.5.33) |
ab
32 |
ГЛАВА 1 |
Здесь мы опустим штрих при знаке суммирования и заметим, что число слагаемых в сумме равно числу зеемановских компо нент в линии.
Поскольку Ы л = gjiNa, |
соотношения (1.5.32) |
и (1.5.33) дают |
при со = 2яѵ |
|
|
А (st-, Я) = |
- J - - ^ т - 5 (st, Я). |
(1.5.34) |
Аналогичные соотношения для коэффициентов Эйнштейна В, сил осцилляторов f и сил линий S можно получить из уравнений
(1.5.34), (1.4.9) и (1.4.10):
f {ß, |
= |
S (st, |
Я), |
(1.5.35) |
В [Я, |
s4) = -±- = |
^ - S ( s t , |
Я). |
(1.5.36) |
Преимущество понятия «силы линии» заключается в том, что сила линии одинакова для излучения и поглощения, т. е.
S(st, Я) = S(M, st), как легко видеть из определения |
(1.5.33). |
А соотношение (1.5.35) показывает, что величина |
st) |
также симметрична относительно уровней s t и Я. При переста новке s t и Я в уравнении (1.5.35) мы получим выражение для эмиссионной силы осциллятора *):
f(st, |
= |
(1.5.37) |
1.6. ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ
Мы видели, как классическое выражение для коэффициента поглощения можно ввести в квантовомеханическое выражение путем подстановки N —*■Nnfnm. Однако вопрос о том, как интер претировать в квантовой теории постоянную затухания, остается все еще открытым. Согласно классической теории, ширина спек тральной линии задается постоянной которая определяет уменьшение энергии классического осциллятора (уравнение
( 1. 1.8) )
W (t) = W0exp ( — yt). |
(1.6.1) |
Конечно, это излучение энергии непрерывно, тогда как в случае атома энергия освобождается дискретными порциями, или кван тами, равными hv. Чтобы найти аналогию с классическим слу чаем, мы должны рассмотреть ансамбль N осцилляторов. Число
*) Иногда в формулу (1.5.37) вводят знак минус. Делается это по тем же соображениям, по которым иногда вводят при рассмотрении линий погло щения знак минус для частоты линии излучения.
іевіЛЯЯС1' >.
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В ЛИНИИ |
33 |
классических осцилляторов Nmn, колеблющихся на частоте ѵтп, будет
N mn = W mn/ h \ mn, |
( 1. 6. 2) |
где Wmn — общая энергия всех осцилляторов (начальная). Для этих осцилляторов из (1.6.1) получим
dNmn/dt = — \N mn. |
(1.6.3) |
Согласно квантовой теории, скорость уменьшения заселенности уровня т из-за переходов с уровня т на п есть
(dN/dt)m^ n = - N mAmn. |
(1.6.4) |
Сравнивая (1.6.3) и (1.6.4), мы видим, что Атп играет роль постоянной затухания. Полная скорость уменьшения заселенно сти уровня т получается при суммировании по всем более низ ким, чем т, уровням п, так что мы считаем
Ут = 2 Атп. |
(1.6.5) |
п < т |
|
В квантовой теории постоянная затухания выражается сум мой обратных времен жизни как верхнего, так и нижнего со стояния, т. е. если
У п = 1 > А п1, |
(1.6.6) |
1< Ѣ |
|
Т О |
|
Утп = Ут + Уп. |
(1.6.7) |
Физический смысл того, что нижнее состояние расширяет спект ральную линию так же, как и верхнее, заключается в том, что верхнее и нижнее состояния размыты. Каждое состояние имеет конечную ширину Д1К, которая прямо связана со временем жиз ни состояния принципом неопределенности Гейзенберга, т. е. ДІЕ-Г^г/г, где Т — время жизни состояния. Если приписать уширение спектральных линий конечной ширине состояний, то мы должны пользоваться (1.6.7).
Если плотность излучения высока, то при вычислении вре мени жизни уровня нужно учесть также и переходы, индуциро ванные излучением. По мнению Слэтера [136], квантовая теория линии поглощения еще не полностью разработана. Для случая, когда поле излучения влияет на время жизни состояний, Миннарт и Мулдерс [111] предложили следующее выражение:
Ут = 2 Атп + |
^ иѵ (т -* п) Втп + |
uv {tn-*l)Bml (1.6.8) |
n<in |
п<т |
l> т2 |
2 Ч . К ау л и