ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 138
Скачиваний: 0
34 |
Глава і |
и аналогичное |
выражение для уп■ Если в качестве иѵ можно |
взять функцию Планка, то, используя соотношения между коэф фициентами А и В и принцип детального равновесия, нетрудно выразить утп как функцию параметров атома и температуры.
1.7. УШИРЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
Только в тщательно контролируемых лабораторных экспери ментах можно наблюдать линии с шириной, примерно равной естественной ширине. В большинстве же случаев спектральные линии будут уширяться в результате: а) теплового эффекта Допплера; б) турбулентных движений излучающего газа; в) эф фекта Зеемана и сверхтонкой структуры; г) многочисленных ти пов атомных, электронных или ионных столкновений (уширение давлением).
Здесь мы рассмотрим лишь механизмы уширения, приводя щие к профилям Гаусса или профилям Лоренца, и обсудим ре зультат одновременного действия нескольких таких механизмов. Общепринято, что турбулентное движение газа приводит к гаус сову профилю, тогда как многие типы уширения вследствие давления дают профиль Лоренца, т. е. профиль той же формы, что и при естественном уширении линии. Поэтому мы рассмот рим сумму двух гауссовых профилей, сумму двух профилей Лоренца и, наконец, сочетание профиля Лоренца с профилем Гаусса.
Вначале покажем, что тепловой эффект Допплера приводит к гауссову контуру. Объединим хорошо известную формулу Доп плера
АХ/Х = и/с |
(1.7.1) |
е известным фактом, что распределение скоростей ѵ по лучу зрения (одна компонента) является максвелловским. Если P(v)dv — вероятность того, что скорость частицы массы т будет заключена в интервале (и, dv), то
Р (V) dv = С, ехр ( — mv2/2kT) dv, |
(1.7.2) |
где постоянная Сі определяется условием |
|
оо |
* |
J P { v ) d v = 1. |
|
—00 |
|
Вероятность P(AX)dAX того, что спектральная линия будет сме щена в интервал (ДА, dAX)*), находится из (1.7.1) и (1.7.2):
Р (ДА) d АА = С2ехр [ — (ДА/ДА^)2] d ДА, |
(1.7.4) |
*) То есть интервал от ДА до ДА + d ДА.
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В ЛИНИИ |
35 |
где величина АXd , называемая допплеровской шириной, дается
формулой
AXD = (X/с) У 2kT/tn |
(1.7.5) |
и Сг — другая нормирующая постоянная.
Аналогично если мы предположим, что турбулентное движе ние газа сообщает излучающим атомам такое распределение по лучевым скоростям £, что вероятность P(l)dl попадания скоро
сти в интервал (|, dl) есть |
|
|
Р ( ^ )^ = |
С3е х р [ - Ш 2]. |
(1-7.6) |
то контуром линии будет |
|
|
Р (ДА) d ДА, = |
С4 ехр [ — (ДАс/А^)2]. |
(1.7.7) |
Постоянные С3 и С4 — нормирующие постоянные; It равно умно женной на У 2 среднеквадратичной турбулентной скорости вдоль луча зрения.
Отметим, наконец, что в результате столкновения или близ кого прохождения возмущающей частицы и поглощающего ато ма поглощенный фотон может быть смещен от естественной длины волны А0 на величину ДА. Рассмотрим контур Лоренца
(1.4.3) как функцию, |
пропорциональную вероятности |
P(AX)dAX |
|||
того, |
что поглощается |
фотон в интервале длин волн (ДА, dAX). |
|||
Тогда |
|
Csd АХ |
|
||
|
Р (ДА) d ДА |
(1.7.8) |
|||
|
ДА2 + |
(устА2/4 яс)2 |
|||
|
|
|
|
||
где |
С5 — нормирующая постоянная, |
а уст — параметр, |
который |
||
определяет ширину контура поглощения, обусловленную давле нием (гл. 5).
Четыре контура, с которыми мы будем иметь дело, даются формулами (1.4.3), (1.7.4), (1.7.7) и (1.7.8).
1.8. СВЕРТКА ДВУХ КОНТУРОВ
Теперь исследуем форму спектральной линии, которая уши ряется совместным действием двух механизмов. Результирую щий контур будет сверткой двух контуров. Ниже мы определим постоянные множители двух контуров, исходя из физических требований нашей задачи.
Если действует лишь один механизм уширения, то энергия в спектральной линии распределяется по контуру, который обо значим через fi(x), где х заменяет ДА. Энергия, содержащаяся в каждом элементарном прямоугольнике с основанием dx и вы сотой fi(x), перераспределяется вторым механизмом уширения по контуру fz(y), но с центром в точке х. Энергия, попадающая
2
36 |
ГЛАВА I |
|
|
б |
интервал [у, dy) в результате перераспределения |
энергии |
|
fi(x)dx, равна (рис. 1.8.1) |
|
|
|
|
f1{x)dxf2{y — x)dy. |
■ |
(1.8.1) |
Ее можно приравнять энергии элемента комбинированного кон тура d(fc(y)dy). Комбинированный контур получается суммиро ванием вкладов от всех таких элементарных полос, т. е.
оо |
|
fc (у) — J h ( x ) h ( y — x)dx. |
(1.8.2) |
—со |
|
Этот результат есть хорошо известное выражение для свертки двух функций распределений.
Рассмотрим три следующих случая:
1)/і и і2— контуры Гаусса,
2)fi и f2— контуры Лоренца,
3)fi — контур Лоренца, а f2— контур Гаусса.
Для двух первых случаев результаты можно получить при помощи теоремы о свертке, которую мы сейчас докажем.
Рис. 1.8.1. Свертка двух контуров.
Рассмотрим преобразование Фурье для функции f3(x), кото рая является сверткой функций fi(x) и f2(x):
со
/з (* )= J fЛу) f2 ІХ — у) dy. |
(1.8.3) |
—оо |
|
Предположим, что интеграл (1.8.3) существует и что существуют преобразования Фурье для fu f2, f3, которые обозначим через
Fi(k), F2(k), F3(k). Тогда
оо оо
F3( k ) = J exp ( — ikx) dx |
j fi (y)f2(x — y)dy. |
(1.8.4) |
—09 |
r - c o |
|
\
ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ В ЛИНИИ |
37 |
Проведем интегрирование сначала по переменной я. Для этого, переписывая
ехр ( — ikx) = exp [ — ik(x — z/)]exp( — iky), |
(1.8.5) |
||
получим |
|
|
|
оо |
оо |
|
|
Fa(k)= J fl (y)exp( — iky)dy |
J f2(x — y ) X |
|
|
—оо |
—-оо |
|
|
Хехр[ |
— ik{x —y)\d{x — у), |
(1.8.6) |
|
где. во втором интеграле вместо |
dx записано d(x — у), |
потому |
|
что во втором интеграле у постоянно. Следовательно, |
|
||
F3(k) = |
F1(k)F2(k), |
(1.8.7) |
|
или преобразование Фурье свертки равно произведению преоб разований Фурье функций, входящих в свертку. Иногда проще перемножить преобразования Фурье и найти обратное преобра зование Фурье от произведения, чем прямо вычислять свертку.
Теперь рассмотрим случай, когда f\ и f2— гауссовы контуры:
fi (х) = |
Аехр[ — {х/а)2] |
(а), |
U{х) = |
Вехр [ — (х/Ь)2} |
( 1.8 .8 ) |
(б ). |
Соответствующие преобразования Фурье равны
F, {k) — Аа У п ехр[— (а/г/2)2] |
(а), |
F2 (А) = ВЪ Ѵл ехр { — {Ыг/2)2) |
(1.8.9) |
(б). |
А преобразование Фурье F%(k) свертки /1 и f2 равно
F3(k) = АВаЬлехр[ — (а2 + b2)(k/2)2]. |
(1.8.10) |
Записывая с2 = а2+ Ь2, мы можем найти обратное преобразо вание Фурье Fa(k), т. е. /3, исходя из соотношения для fi{x) и Fi(k):
fa(x) — (ABab/c ] / л)ехр[ — (х/с)2]. |
(1.8.11) |
Мы можем не заботиться о постоянном множителе в этом выра-' жении, поскольку конечное выражение для коэффициента по-: глощения должно нормироваться так, чтобы выполнялось соот ношение (1.4.4). Наш результат можно резюмировать следую щим образом: Свертка двух функций Гаусса является гауссовой функцией, ширина которой равна квадратному корню из суммы квадратов ширин функций свертки.
Теперь положим |
|
і |
fi (#) = Aj{x2+ а2) |
(а), |
|
Ш = ВІ(х2 + Ь2) |
(б). |
и ’8Л ; |
38 |
ГЛАВА I |
|
|
|
Их преобразования Фурье соответственно равны |
|
|||
Fl (k) = |
A ^ e x p [ — a \k \] |
(а), |
(1.8.13) |
|
F2( k ) ^ B ^ e x p l - b \ k \ ] |
(б). |
|||
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
F3l(k) = - ^ - n 2exp[— (a + b ) [k |], |
(1.8.14) |
|||
отсюда |
|
|
|
|
h (*) = АВя -т |
‘ |
(1.8.15) |
||
|
хг + (а + Ь)2 |
|
||
Итак, свертка двух контуров Лоренца является контуром Ло ренца, ширина которого равна сумме ширин контуров свертки.
Легко теперь скомбинировать гауссовы контуры теплового и
турбулентного уширений. Можно записать |
|
fD(ДА) = Сд ехр [ — (ДА/ДАд)2], |
(1.8.16) |
где теперь |
|
|
(1.8.17) |
и CD— нормирующая постоянная. |
совпадает с |
Комбинированный контур поглощения (1.8.15) |
выражением (1.4.3), с тем лишь исключением, что теперь мы понимаем под у сумму у от естественного уширения и разных типов уширений давлением. Вспомним, что интеграл контура поглощения не зависит от ширины. Функция хл(ДА) (1.4.3) нор мирована таким образом, чтобы дать результат (1.4.4), поэтому нам нужно выбрать такой нормирующий множитель CD, чтобы контур Допплера был нормирован к единице. Физически это означает, что полное или интегральное поглощение в элементар ном объеме не меняется с шириной профиля коэффициента по глощения.
Теперь мы в состоянии выразить коэффициент поглощения для затухания совместно с допплеровским уши'рением как сверт ку двух эффектов, действующих независимо. Найдем свертку коэффициента поглощения, выраженного как функция разности
длины волны ДА от центра линии, с контуром Допплера |
(1.8.16). |
На основании уравнения (1.4.3) можно записать |
|
fy (АЛ) = (e2l 2/2mc2) yKNJ |
|
где |
(1.8.19) |
Ѵх = у К І 2лс |
есть постоянная затухания в сантиметрах.