Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

При |Z2|—>оо; tgjc2—;>■оо; х2 = -^-; п. .., что совпада­

ет со случаем закрытой на конце трубы.

Рассмотрим теперь случай, когда перед корнем взят знак ми­

ветствует случаю закрытой трубы.

На основе изложенного перед корнем в уравнении (4.72) сле­ дует взять знак минус, поэтому уравнение частот принимает вид

где

Zl— Rl + X l

Интересно отметить, что если Z22 = |Z2|, то

В табл. 4.1 приведены значения собственных частот для предель­ ных случаев закрытой (|Z2|-»-oo), открытой (|Z2|-»-0) и на­ груженной на волновое сопротивление (|Z2|->Z22) труб. Видно, что из уравнения частот (4.77) получаются, как частные случаи, частоты закрытой и открытой труб.

Если сопротивление (Z2) меняется непрерывно от нуля до бесконечности, то собственные частоты системы будут изменять-

139

ся от я. 2я... до —- , л, - у я, принимая все промежуточные

значения. В частности, основная частота будет меняться от я

до . Отметим, что при нагружении трубы на волновое сопро­

тивление частоты ее принимают промежуточное значение между частотами открытой и закрытой труб, что, впрочем, естествен­ но, в связи с только что отмеченным монотонным изменением ча­ стот при переходе от открытой к закрытой трубе.

Рассмотрим влияние параметров на величину декремента за­ тухания системы, для чего обратимся к выражению (4.70). Если подставить в это выражение значения коэффициентов Ац, h\2, А21, то оно примет вид

Рассмотрим зависимость декремента от параметров системы, оцениваемую множителем

и от параметров и характеристик компрессора, оцениваемую мно­ жителем

\Z22—Ра\Р' )

Впредельных случаях открытой (|Z2|->-0) и закрытой (|Z2|-»-°o) труб множитель yi принимает максимальное воз­

можное значение yi = 1. В обоих этих случаях имеет место пол­ ное отражение волн от конца трубы. При этом случай |Z2|-»-0 реализовать трудно из-за излучения открытого конца. Реализа­ ция |Z2 1— 0 получается достаточно точной только на низких ча­ стотах, когда сопротивление излучения мало.

Множитель yi принимает минимальное значение при

Очевидно, что если Хг = 0 и /?2 = Z22, т. е. труба на конце на­ гружена на волновое сопротивление Z22, множитель yi обраща­ ется в нуль. В этом случае декремент затухания 6-»-оо. Это со­ ответствует тому факту, что при нагружении трубы на волновое сопротивление отраженные от конца волны отсутствуют и в си­ стеме не устанавливаются стоячие волны.

140

Влияние параметров компрессора на декремент затухания оценим множителем у2- Этот множитель становится равным еди­ нице при F'-*- 0 и F ' - у о о . Первый случай соответствует отсут­ ствию компрессора или нахождению рабочей точки на характе­ ристике в ее максимуме, второй — относится к характеристике компрессора, в которой положительный наклон приближается к вертикальному.

Для более детального исследования выражения (4.78) вве­ дем в нем следующие обозначения:

Поскольку устойчивость системы определяется знаком декре­ мента, то для оценки устойчивости можно использовать выра­ жение (4.82). Если правая часть этого выражения изменяется от нуля до единицы, т. е. если

то система устойчива. При этом очевидно, что неравенству (4.83) соответствует неравенство оо > б > 0.

чему соответствует 6 = 0, то система находится на границе ус­ тойчивости. Наконец, если

видно, что последние условия являются условиями самовозбуж­

дения.

Оценим характер устойчивости и неустойчивости системы и найдем уравнения границ областей устойчивости для случая, ког­

141