Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 147
Скачиваний: 0
для частот |
|
|
(^22—^2—-^г) |
+ ®г) |
+ ^ i]+ 2XiX2Z22{&i—02) |
tg2*2—2■ |
|
|
2v 22 [e^a+^j (ej+вя) +/г? + х?] —x,(z|2—Ai^ixe.—в,) |
||
|
X t g * - l - 0 . |
(4.101) |
Преобразуем эти уравнения, подставив в них значения вели чин 01 и 02:
мдн. [HZ^ + p ^ n - R ^ + X ^Z^ -R .Y + Xl т
[4Z22- p oxF>)+Rxy + X\{Z22 + R2f + x l'
t 2 - (z222 +* l- x l) [(/?i - V 01FQ2 + x ^ - ^ z 22] - 4 x x 1x 2z i2 x
•^2^22 [(^1 V >2+ X2—X2Z22J+ ЯХ[ (z \2—R\—.X2)
X t g x 2 — 1=0; |
(4.103) |
где
1 $01 P01
Л . ' |
Рог |
Из выражения (4.102) следует, что при учете реактивного сопротивления Х\ на входе в компрессор декремент ни при каких значениях производной F' не обращается в минус бесконечность, т. е. система не становится абсолютно неустойчивой. Наиболь шее отрицательное значение декремента будет при условии
R ,= b p QlF'— V t f z \ 2 + X\. |
|
(4.104) |
||
При этом значении множитель |
|
|
|
|
Т| [мг22 + Р01П - * , ] 2 + х? |
(4.105) |
|||
[H z ^ - P o in + RiY + x i |
|
|||
|
|
|||
становится максимальным и равным |
|
|
|
|
[^Z22 + |
+ |
|
+ *1 |
(4.106) |
Yl Ylmax— . |
__________ |
|
|
|
[bz22- V |
tfz \2+ x\\ |
|
+ X2 |
|
Если же |
__________ |
|
|
|
Rl = Kp0lF' + }/ ^>2Z22 + ^ i, |
(4.107) |
|||
то множитель (4.105) достигает минимума: |
|
|
|
|
%z22+ \ / x2z 22+ x 2Y + x 2 |
(4.108) |
|||
Yl = Ymax = 7— ^ ......... ..... |
,--------- |
|||
XZ22- l / ^ 2 22 +^lJ |
|
+X\ |
|
|
150
Рассмотрим более внимательно выражение (4.105). Пусть Z22> PoiF'. Тогда при возрастании активного сопротивления Ri на входе от нуля до значения, определяемого формулой (4.104), множитель yi будет убывать от значения
^ ( z 22 + p0lF j + X2i
^2(^22 P0lF )2 + ^1
до определяемого формулой (4.106).
Из уравнения (4.103) следует, что при учете реактивного со противления на входе в компрессор собственные частоты систе мы определяются не только геометрическими параметрами под ключенной системы, но также характеристиками компрессора. Устойчивость системы, как указано выше, характеризуется зна ком декремента.
Воспользовавшись изложенным, получаем условия устойчи вости системы с учетом сопротивления на входе в компрессор. Если
[M Z22 + p0lF ' ) - R {] 2 + Х$ |
(Z22~ R 2У + X2 |
|
|
|
(4.109) |
[UZ22- p 0lF') + Я,]2 + х \' (z22+ r 2)2+ х\ |
||
то система устойчива. При выполнении условия |
||
[M Z 22 + p0 1n - * , ] 2 + x ? |
{ z 22- R 2f + x l = 1 |
|
\ 4 z 22 -PoxF' ) + R t f + x\ |
(z22 + R2) 2+ x 2 |
|
система находится на границе устойчивости. Наконец, если |
||
[*■ (Z y + P01F ' ) - 1 ,] 2 + X \ (Z 22- R 2f |
+ X j |
|
1 < |
|
(4.111) |
[b(Z22- P o x F ') + Kl]2 + X ! |
\ Z 22 + * 2? |
+ A |
то система неустойчива. Очевидно, что соотношение (4.111) яв ляется условием самовозбуждения. Уравнение (4.110) будет ис пользовано в дальнейшем для определения амплитуды автоко лебаний.
Сравним условие устойчивости (4,109) с условием устойчи вости, полученным в работах [17, 19], для случая аппроксимации распределенной акустической системы системой с одной степенью свободы.
Полученное ранее условие динамической устойчивости в при нятых здесь обозначениях имеет вид
PoiF'< R2Ca ’
где
(4.112)
151
Если /j = 0, то
2 |
2 |
Z |
2 |
Рос |
|
22 |
|
P o i F < |
|
*2 |
|
^2s2 |
|||
Для области динамической устойчивости имеем
P ^ F ' < ~ ~ - |
(4.113) |
Нг |
|
Там же было получено уравнение области статической устой чивости
p0lF ' < R 2. |
(4.114) |
Но выражения (4.113) и (4.114) совпадают с выражениями
(4.90).
Таким образом, граница устойчивости системы, полученная из приближенной теории, совпадает с границей устойчивости, найденной на основе точной теории, если в последнем случае пре небречь реактивным сопротивлением.
4.5.УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ СО ВХОДНЫМ ТРУБОПРОВОДОМ
Рассмотрим систему, состоящую из компрессора с подключен ным к нему входным трубопроводом (1Х^=0, щ = 0). На выходе компрессор нагружен на сопротивление Z2. При этих предполо
жениях получаем Х\ = coPi; 61 = брь х2 = 0; б2 = 0 и
(— Z22— Z2)[(0* + Zi)chx\ + ( z xx + 02 |
shxj j = |
= (Z22— Z2) j^(0| + Z[)chx! + |Zu + 0i |
shjCjj . (4.115) |
Перепишем это уравнение в более удобном для дальнейшего использования виде
[2Z1Z22 + Z2(02—0 i) + Z22(0 i + 02)lchx! + {2Z11Z22 +
+ [Z2(02- 0,) + z22(0, + 02)]} Shx, = 0. |
(4.116) |
Z1I
Рассмотрим сначала случай Z2 = 0, т. e. предположим, что со противление на выходе компрессора отсутствует. Тогда, после подстановки в уравнение (4.116) значений 0i и 02 из выражений
(4.60) и (4.61), найдем
(Z, +/t,,)chx1 -f-^ZM+ |
s hx, =0 |
(4.117) |
или |
|
|
(Z„ + Z,)(Z„ -I-Лц)е*« = (Z „— Zj)(Zu — h u ) e ~ x ' % |
(4.118) |
|
152
Полагая Z\ = Rx + jXi и учитывая, что Xx = /х, — 6,, |
получа |
|
ем после подстановки в уравнение |
(4.117) и сравнивания веще |
|
ственных и мнимых частей |
|
|
(ЛсоэХ]'— В sinxjje- ®' = (С cosxi— D sinxl)ee>; j |
^ |
|
(5 cosx t + A sin^i)e_e>= (— D cos*! — C sinx,)ee>, j |
|
|
где |
B = X ](Zn +.AU); 1 |
j2q\ |
Л = (Zu + ^ i)(Zn + An); |
||
C = (Zn— /?,)(Z „— Ац); |
D = X\(Zu — Ац). J |
|
Решая уравнения (4.119) аналогично тому, как это выполне но выше, получаем уравнения для определения декремента и ча стот
|
.-■и, |
С * + |
£>2 |
|
|
(4.121) |
|
|
|
|
|
||
|
A*+ B* |
|
|
|
||
(fiC -M D H tg2*, — 1)— 2(АС— 5 D )tg x ,= 0 . |
(4.122) |
|||||
Подстановка значений коэффициентов А, В, С и D в уравне |
||||||
ния (4.121) и (4.122) дает |
|
|
^2 |
|
|
|
е-4бр, _ |
|
|
|
|
|
|
/ z n—hu у (zn - ^ i)2 + ^f |
: |
(4.123) |
||||
е— >ор, _ |
I_ л -... |
| * |
- |
1 |
||
|
\ Z u + A n ) |
( Z u + t f , ) 2 + ; ^ |
’ |
|
||
|
72 п2 |
у2 |
|
|
|
|
tg2xr |
с \\—*Ч~~Л1 tgxj — 1 =0. |
|
(4.124) |
|||
Z\\X1
Уравнение частот (4.124) полностью совпадает с уравнением (4.65), поэтому все изложенные применительно к нему резуль таты справедливы и для уравнения и в данном случае.
Если в уравнение (4.123) подставить значение Ац, то полу чим
|
е - 4 в р , __ ( zu+ kPoiF' |
\2 (zn —*i)2+ * . |
(4.125) |
|||
|
|
|
\ z ii—hpoiF' |
) (Zn +/?i)2 + x i |
|
|
где |
' |
Р 01 |
P o i |
— величина порядка единицы. |
||
Л = — |
Р 02 |
Рог |
||||
|
A t |
|
имеет тот же вид, |
что и выра |
||
|
Поскольку выражение (4.125) |
|||||
жение (4.78), то все сделанные выше выводы о влиянии пара метров системы на ее поведение остаются в силе.
В частности, при Z\-*■0 и Z\ 00 множитель
(zn - * i ) 2 + *i
(zu + *i)2 + z ?
достигает максимального значения, равного единице, а при
R i - z h + x l |
(4.126) |
153
он имеет минимальное значение, равное
(z n ~ V z n + ^ f + *i
(Zu+Vzh+ X*)2+х*
Влияние параметров компрессора на устойчивость системы мо жет быть оценено аналогично предыдущему. Если, в частности, выполняется условие
Ан/7' ^ , |
(4.127) |
то система становится абсолютно неустойчивой.
Из выражения (4.127) также следует, что поскольку волно вое сопротивление Zxx обратно пропорционально'площади попе речного сечения трубопровода si, то чем меньше Si, тем больше Zxx, и, следовательно, тем при больших значениях наклона ха рактеристики F' наступит неустойчивость.
Предположим теперь, что Z2 ф 0. Если учесть, что |
|
|
|||
|
~ 2Йц» |
02 — ©1 = 2222^*12^21» |
|
|
|
то уравнение (4.116) |
можно привести к виду |
|
|
|
|
(Zu + ZX)(ZXX+ hxx + Z22hx2h2x)ex' = |
|
|
|||
= (Z „ — Z ,)(Z „ — hlx— Z22hx2h2x)e~x'. |
|
(4.128) |
|||
Полагая в этом уравнении Z\ = /?,• 4- jXх и Z2 |
= R2 + jX2, по |
||||
лучаем после сравнения вещественных и мнимых частей |
|
|
|||
(/4cosjci — В sin jcj) е ~ = (Ceos х х— Dsinx^e8-; |
1 |
_ |
|||
— |
— |
— |
_ |
) |
(4- 12У) |
(В cos Х\+ A sinx])e~6‘ = ( — D cosxt — С sin jc1)ee<,|
где
А = (Z,! + RX)(ZXX+ Лц + F.2h\2H2\)---X xX2hx2fl2X\
В— Х\(Zu + Лц + R2hx2h2x) + (Z\\+ R\)XxhX2h2X\
С— (Zxx— RX)(ZXX— hxx— R2hx2h2x) — X xX2hl2h2x\ D = Xx(Zxx— hiX— R2hi2ft21) + ( Z „ — R\)X2hx2h21.
Из выражений (4.129) находим уравнения декремента и час
тот |
(ft,+/?2)2 + X2 |
(Z ^ -R tf + X* |
|
|
€—46, |
(4.130) |
|||
(\ + R2f + x\ |
(zn + ^i)2 + ^i |
|||
|
||||
|
|
|||
где |
tg2*! — 2a tg х х 1 = 0, |
(4.131) |
||
ftn— Zu _ „ |
hxx + Zxx |
|
||
|
|
|||
F\ — |
|
|
||
(A x- R \ - A ) [z u - ( * .. + f i2 * i2 * n H - « iiW i2 * 2 i |
||||
2zn z i [Zxx (Л,, + Я2Л12Л21)2] + %z xxX2hn h2x(z\ x— i? 2 |
X2) |
|||
154