Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

Следовательно, граничные условия вместо выражений (4.4) — (4.7) примут вид

Уравнения (4.25) и (4.26) являются эквивалентными лине­ аризованными уравнениями (4.5) и (4.6) компрессора. При этом компрессор рассматривается как четырехполюсник, свойства ко­ торого характеризуются четырьмя коэффициентами Ли, h\2, Л21, Л22. При исследовании устойчивости системы будем полагать, как указано выше, эти коэффициенты постоянными,

дF

что соответствует постоянству производной F ' = —— . Посколь- dQi

ку функция F' зависит от расхода Q2, то при нарушении усло­ вий устойчивости уже нельзя полагать F'(Q2) = const. Установ­ ление автоколебаний в системе как раз и обусловлено зависи­ мостью производной F' от расхода Q2. Следовательно, предпо­ ложение о постоянстве коэффициентов четырехполюсника Лц, Л12, Л21, Л22 справедливо до тех пор, пока система устойчива.

Таким образом, поведение системы описывается линеаризо­ ванными уравнениями в частных производных (4.12) и (4.13) при линейных (постоянные Лц, h\2, h2U Л2г) или'нелинейных (пере­ менные Лц, Л12, Л21, Л2г) граничных условиях (4.24) — (4.26).

4.2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ

Решение уравнений в частных производных при нелинейных граничных условиях представляет значительные трудности. В не­ которых случаях хорошие результаты может дать метод Фурье.

Применяя этот метод, приходится заменять нелинейные члены в граничных условиях линеаризованными членами в смысле тео­ рии гармонического баланса или, например, использовать метод периодических решений Пуанкаре (метод малого параметра) в форме Витта [11]. Метод Фурье при указанном его видоизмене­ нии позволяет исследовать устойчивость системы, найти условия возникновения автоколебаний, определить амплитуду и частоту

автоколебаний и т. д.

Исследуем устойчивость, предполагая, что коэффициенты hu, h\2, Л21 и h22— постоянные величины. В таком случае получаем известную граничную задачу. Однако решение ее применительно к акустической системе с компрессором приводит к ряду инте­

Это линейное уравнение с постоянными комплексными коэф­ фициентами решается аналогично линейным уравнениям с пос­ тоянными вещественными коэффициентами. Для этого составля­ ется характеристическое уравнение, соответствующее уравне­ нию (4.31):

Отсюда находим два числа Xi и Аг, являющиеся безразмер­ ными волновыми числами. При этом решение уравнения (4.31) принимает вид

где А и В — произвольные постоянные, определяемые из началь­ ных условий.

130

В дальнейшем будем полагать, что коэффициенты pi и р2, ха­ рактеризующие распределенное сопротивление, малы, поэтому их квадратами и произведениями можно пренебречь. Следует помнить, что мы должны рассматривать две распределенные си­ стемы — входной и выходной трубопроводы и, следовательно, по­ лучим две пары волновых чисел Л-i и Х2. Решения характеристи­ ческого уравнения (4.32) для входного и выходного трубопрово­ дов дают (с точностью до р2)

но определить функцию р(т, у). Таким образом, решения урав­ нений (4.12) и (4.13) для входного (индекс 1) и выходного (ин­

В этих выражениях неопределенными являются коэффициен­ ты /4Ь Вь Л2 и В2 и комплексное число е. Для определения их

можно найти при исследовании автоколебаний. Что касается ве­ личины е, то она будет определена из условия равенства нулю

определителя однородной системы уравнений, получаемой, как указано, при удовлетворении граничным условиям.

Удовлетворяя граничным условиям путем подстановки выра­

£ц = Zi 1+ Z\m,

£ 1 2 = Zn + Zi;

£ 23 = (Z22- Z 2)e?l1;

E 2i = (Z"22— Z2) t \

£ 3i = —

e « ; Zi, -------Z „

лениями для входного и выходного трубопроводов соответствен-

132