Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

pnc. пни

Рис. П1И.2

237

начинает тормозиться, что как бы эквивалентно перемещению по­ ложения равновесия из х = 0 в х = х\. Вследствие указанного, движущаяся точка приходит к положению равновесия за боль­ шее время и с меньшей скоростью, чем в соответствующей кон­ сервативной системе (при затухании, равном нулю). Мгновенная,

аследовательно, и средняя частоты оказываются меньшими, чем

вконсервативной системе.

Во 2-й четверти колебания (х > 0, х < 0) сила трения скла­ дывается с восстанавливающей силой, увеличивая последнюю. Вследствие этого, колеблющаяся точка тормозится более энер­ гично и приходит к максимальному отклонению за меньшее вре­ мя, чем в соответствующей консервативной системе.

При этом отклонение оказывается меньшим, чем в 1-й чет­ верти. Мгновенная, а следовательно, и средняя частоты оказы­ ваются большими, чем в соответствующей консервативной сис­ теме, причем увеличение частоты во 2 -й четверти равно умень­ шению частоты в 1-ой. В 3-й и 4-ой четвертях колебаний взаимо­ действие силы трения и восстанавливающей силы имеет тот же характер, как соответственно в 1 и 2 -й четвертях, причем положе­ ние равновесия как бы перемещается из х = 0 в х = Хг. Вследст­ вие этого применение метода Ван дер Поля, осредняющего за целое колебание, не может обнаружить влияния силы трения в диссипативных системах, симметричных относительно начала.

Для 2-го колебания описанная картина движения сохраняет­ ся с той разницей, что начальное отклонение оказывается равным не а\, a a2(a2 < a i). При этом условные положения равновесия перемещаются в л:3 и х4(х3 < x t, х4 < jc2) и т. д.; с каждым коле­ банием амплитуды уменьшаются и движение затухает.

В случае отрицательного трения характер взаимодействия восстанавливающей и диссипативной сил является обратным описанному: в 1 и 3-й четвертях колебания (в 4 и 2-м квадрантах фазовой плоскости) сила трения совпадает по знаку с восстанав­ ливающей силой, увеличивая последнюю, во 2 и 4-й четвертях (в 1 и 3-м квадрантах) — противоположна. Вследствие этого, движущая точка приходит к положению равновесия за меньшее время и с большей скоростью, чем в соответствующей консер­ вативной системе,— происходит раскачка системы.

Таким образом, сила трения может по-разному взаимодейст­ вовать с силой упругости в разных четвертях колебания, опре­ деляя диссипацию или. накопление энергии и обеспечивая нали­ чие автоколебательного режима.

Возникает естественная мысль, нельзя ли вместо анализа од­ ной системы, в которой силы трения по-разному взаимодейству­ ют с силой упругости в каждой из четвертей колебания, рассмат­ ривать такие системы, в каждой из которых характер взаимо­ действия сил трения и сил упругости будет во всех четвертях ко­ лебания одинаковым. Осреднение по частоте за целое колеба-

238

ние, примененное к каждой из таких систем, должно в этом слу­ чае уже учесть влияние силы трения. Такое разбиение можно провести.

Рассмотрим сразу общий случай уравнения (ПШ.16). Обозначая х — у, запишем это уравнение в виде системы

Будем рассматривать движение вокруг положения равновесия х = 0, которому соответствует особая точка с индексом Пуанка­ ре, равным +1. Движение вокруг этого положения равновесия можно найти, рассматривая вместо уравнения (ПШ.16) четыре независимые системы:

В каждой из этих систем в отличие от системы (ПШ.22) ха­ рактер взаимодействия сил трения и упругости является во всех четвертях одинаковым, что нетрудно видеть из структуры, урав­ нений (ПШ.23).

Системы (ПШ.23) обладают следующими свойствами:

1 ) интегральные кривые этих систем на фазовой плоскости симметричны относительно обеих координатных осей;

2 ) их решения с точностью до произвольных постоянных сов­ падают с решением (ПШ.16) соответственно в 4, 3, 2 и 1-м квад­ рантах фазовой плоскости.

Для доказательства 1-го свойства достаточно показать, что для каждой пары точек фазовой плоскости, симметричных отно-

239

Исключая время из системы (ПШ.23, а), получаем

sign х

от знака выражения —5— , который изменяется при изменении

У

знака х или у. В связи с этим, условия (ПШ.24) и (ПП1.25) вы­ полняются, что и доказывает 1 -е свойство для системы (ПШ.23, а). Аналогичное можно показать относительно осталь­ ных систем (ПШ.23).

Для доказательства 2-го свойства исключим время из систе­ мы (ПШ.24):

замечаем, что они тождественно совпадают. Аналогичное обстоя­ тельство имеет место относительно остальных систем (ПШ.23), что доказывает 2 -е свойство.

Уравнения вида (ПШ.23) в связи с симметричностью инте­ гральных кривых будем в дальнейшем называть квазиконсервативными. Для общности системы консервативные, симметричные относительно начала, будем считать частным случаем квазиконсервативных. Вследствие того, что интегральные кривые этих уравнений симметричны, достаточно иметь решение каждой из систем (ПШ.23) для одного из квадрантов фазовой плоскости. Найдя их и построив функции соответствия Vi(a) (i = 1, 2, 3, 4),

легко определить процесс ус­ тановления [21] (рис. ПШ.З).

колебательной системы, кото­ рая может быть весьма слож­ ной с точки зрения различия в характере взаимодействия сил трения и восстанавливающих сил в различных четвертях ко­ лебания, заменяется изучением

240

значительно более простых по своему существу квазиконсервативных систем.

Аналитически было показано, что квазиконсервативные сис­ темы обладают следующими свойствами:

а) их интегральные кривые симметричны относительно обеих осей координат;

б) их решения с точностью до произвольных постоянных сов­ падают с решениями исходной системы в соответствующих ква­ дрантах фазовой плоскости.

Если рассматривать вопрос с точки зрения сил, действующих в системе, то из ранее сказанного ясно, что упомянутые свойст­ ва объясняются следующим обстоятельством. В .квазиконсервативных системах характер взаимодействия скоростных и восста­ навливающих сил оказывается совершенно одинаковым для всех квадрантов фазовой плоскости (т. е. всех четвертей колебания). Например, если в исходной колебательной системе сила трения противоположна по знаку силе упругости в 1 и 3-й четвертях ко­ лебания и совпадает по знаку во 2 и 4-й четвертях, то для квазиконсервативных систем будет иметь место такая картина: в квазиконсервативной системе, описывающей движение в 1 и 3-й чет­ вертях колебания, сила трения, противоположная по знаку силе упругости для всех четвертей колебания, совпадает по знаку с восстанавливающей силой также во всех четвертях колебания.

Рассмотрим более подробно вопрос о влиянии сил трения и одновременно будем строить для рассматриваемых уравнений соответствующие квазиконсервативные системы.

Для более подробного исследования влияния сил трения за­

Здесь <р(х) зависит только от х [консервативная составляю­ щая силы f(x, х)], причем считается <р(х) не равной тождествен­ но «улю.

Пусть функция ф(х, х) нечетна, а 0(х, х) четна по 2-му аргу­ менту. Рассмотрим некоторые возможные случаи.

1. Случай асимметрии фазовой диаграммы относительно обе­ их координатных осей. Он может быть реализован при любой из двух характеристик силы