Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

также приближается к оси ординат. В этом случае происходит нарастание колебаний.

Вообще, если кривая Ф(<2) проходит в первом и третьем квадрантах фазовой плоскости V, Q, как на рис. 1.7,6, то будет происходить нарастание колебаний. С энергетической точки зрения это означает, что на тех участках кривой колебания, которым соответствует участок кривой <P(Q), на котором знак Ф(<2) совпадает со знаком Q, происходит накопление энергии,

ана тех участках, где знак Ф(С?) противоположен знаку Q,—

еерассеяние.

Отсюда следует, что характер интегральных кривых в ок­ рестностях особой точки будет следующим образом зависеть от вида функции Ф(<2) в конечной окрестности начала координат:

1. Если в рассматриваемом интервале значений Q выпол няется условие signФ(Q) = —sign Q, то происходит затухание колебаний (см. рис. 1.5, 1.6).

Здесь используется символ Кронекера sign, определенный

—1 при х < 0.

2.Если в рассматриваемом интервале выполняется условие sign Ф(С?) = sign Q, то происходит нарастание колебаний, что соответствует рис. 1.7.

Предположим теперь, что угловой коэффициент —— пря- kCа

мой Ь такой, что она превращается из секущей в касательную. Функцию Ф(<2) в таком случае будем иногда для удобства от­

мечать индексом k и обозначать Ф,(. Если указанная касатель-

46

ная не лежит в точке перегиба кривой F(Q), то функция Ф(<3) вблизи начала координат имеет один знак.

47

дущим, устанавливаем, что при таких условиях за каждое

теперь к рассмотрению системы «в большом», причем будем ис­ следовать случаи, происходящие в реальных системах. В неко­ торых из рассмотренных выше случаев происходит нарастание колебаний. Обычно неограниченного нарастания колебаний не бывает, а в системе устанавливается некоторый автоколеба­ тельный режим.

48

В случае (3, а), которому соответствует рис. 1,8, а, б, выпол­ няется условие 0 < Ф(—Q) < 0 ( Q ) . При этом для прекраще­ ния нарастания колебаний и для установления автоколебатель­ ного режима достаточно, если характеристика Ф(<2) в области значений Q > Qa > 0 перестает удовлетворять условию Ф(С?) >

Если амплитуда колебания достаточно велика, то очевидно, что накопление энергии в интервале 0 < Q < Q6 будет меньше, чем рассеяние ее на полупрямых Q < —Qa и Q > Qs- Поэтому ко­ лебания большой амплитуды будут затухать, а малой нарастать, причем в системе установится одно устойчивое периодическое движение. На фазовой плоскости этому движению будет соот­ ветствовать состояние равновесия типа неустойчивого фокуса или узла и один устойчивый предельный цикл, на который из­ нутри и извне наматываются все соседние траектории

(рис. 1.13, б).

Посмотрим теперь, как будет изменяться характер колеба­ ний, если начало координат, которому соответствует особая точка уравнения (1.61), будет перемещаться вдоль кри­ вой Ф(<2).

Если точка О (рис. 1.13, а) будет смещаться вправо по кри­ вой Ф(<3), то при незначительном смещении характер новой кривой 0(Q) будет таким, как показано на рис. 1.14, а.

Ввиду того, что в окрестностях особой точки О функция Ф(<Э) удовлетворяет условию sign 0(Q ) = sign(Q), в системе будут самовозбуждаться колебания. Вначале они будут возрас­ тать, однако после того, как амплитуда их станет больше Qa, нарастание ее замедлится, и, в конце концов, установится устой­ чивый предельный цикл при мягком возбуждении. Получится картина, качественно сходная с рис. 1.13, б.

Сместим теперь точку О влево по кривой 0(Q ). Если сме­

»ис. 1.13